JSN ImageShow

Η ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΖΩΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ

Γράφτηκε από τον/την Super User

Της Ηλέκτρας Καμπουράκη ? Πατεράκη,                     Μαθηματικού.

 

Η ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΖΩΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ

(Οι αριθμοί και οι πράξεις ή πιο απλά πώς έκαναν τους λογαριασμούς οι αρχαίοι)

1. Προλεγόμενα.

Πριν αρχίσουμε αυτή την μελέτη, θα μπορούσε κανείς να θέσει το ερώτημα: Υπήρχαν Μαθηματικά στη φύση πριν από τον άνθρωπο; Δηλαδή προϋπήρχαν οι απαραίτητες έννοιες για τη δημιουργία μαθηματικών ή όλα είναι δημιούργημα του ανθρώπου;

Η απάντηση είναι : Ναι, προϋπήρχαν.

Η απάντηση αυτή στηρίζεται στο γεγονός ότι στο περιβάλλον του χωρο-χρόνου στο οποίο εμφανίστηκε, αναπτύχθηκε και στο οποίο βιώνει ο άνθρωπος, οι έννοιες της ισοδυναμίας (ισότητας) και της διάταξης (μεγαλύτερο ? μικρότερο), στις οποίες βασίζεται η δημιουργία των φυσικών αριθμών που αποτελούν τη βάση των μαθηματικών, υπήρχαν πριν από την εμφάνιση του ανθρώπου.

Σημειώνω ότι μέχρι τις αρχές του προηγούμενου αιώνα επικρατούσε η άποψη:

Ο Θεός έδωσε στον άνθρωπο τους φυσικούς αριθμούς και όλα τα άλλα τα έφτιαξε αυτός (ο άνθρωπος).

Τον 20ο αιώνα, με τη δημιουργία της θεωρίας των συνόλων, άλλαξε αυτή η θεοκρατική αντίληψη για τους φυσικούς αριθμούς και έκτοτε θεωρείται ότι και οι φυσικοί αριθμοί είναι δημιούργημα του ανθρώπου. Αυτό, κατά τη γνώμη μου, είναι λάθος, γιατί οι σχέσεις της ισοδυναμίας και της διάταξης προϋπήρχαν του ανθρώπου, είναι σύμφυτες με τη φύση των πραγμάτων, του όλου και του μέρους, άρα δεν τις έφτιαξε ο άνθρωπος αλλά «ο Θεός» ή, αν θέλετε, η φύση.

Ο άνθρωπος κάτω από την πίεση των καθημερινών του αναγκών για επιβίωση, αλλά και των πρόσθετων αναγκών που του δημιούργησε η οργάνωσή του σε κοινωνίες ήταν φυσικό να αναζητήσει πνευματικά εργαλεία για να κάμει τη ζωή του ευκολότερη. Ένα από τα πρώτα πνευματικά εργαλεία που δημιούργησε ήταν τα Μαθηματικά ή καλύτερα η Αριθμητική και η Γεωμετρία. Ίσως οι πρώτες προσπάθειες για την δημιουργία μαθηματικών εννοιών να ξεκίνησαν από ανάγκες όπως ο υπολογισμός του χρόνου για την μετάβαση από τον τόπο της κατοικίας του στους τόπους του κυνηγιού, η απαρίθμηση αυτοτελών αντικειμένων και η μέτρηση του μήκους. Αργότερα η δημιουργία των κοινωνιών πρόσθεσε ένα σημαντικό στοιχείο, την ατομική ιδιοκτησία, που πολλαπλασίασε τις ανάγκες για μέτρηση, γιατί κατέστησε απαραίτητη την ανάγκη μέτρησης των ατομικών περιουσιακών στοιχείων. Φαίνεται λοιπόν λογικό πως ο άνθρωπος κάτω από την πίεση των καθημερινών αναγκών ανακάλυψε πολύ νωρίς την έννοια των φυσικών αριθμών 1, 2, 3, ?. και άρχισε τις προσπάθειες να δημιουργεί αριθμητικά συστήματα με τα οποία μπορούσε να μετρά το χρόνο, τα υπάρχοντά του, κτηματικά ή άλλα περιουσιακά στοιχεία και αγαθά, και να τα χρησιμοποιεί σε (εμπορικές) συναλλαγές με άλλους. Αρχικά θα πρέπει να δημιούργησε ένα σύστημα αρίθμησης και στη συνέχεια να όρισε τις πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση στο σύστημα αυτό, δηλαδή έφτιαξε μια Αριθμητική, για να μπορεί να αντιμετωπίζει καθημερινές ανάγκες. Αργότερα έφτιαξε τη γεωμετρία με την οποία αντιμετώπιζε άλλες ανάγκες.

Κατά τον Ηρόδοτο (πατέρα της Ιστορίας) η Γεωμετρία γεννήθηκε από την ανάγκη επαναπροσδιορισμού των συνόρων (με πασσάλους) των κτημάτων των Αιγυπτίων μετά από κάθε πλημμύρα του Νείλου (βλέπε σχ. 1 και 2)

Για την Αριθμητική είναι δύσκολο να πούμε πότε και πώς ακριβώς γεννήθηκε και μόνο εικασίες μπορούμε να κάνομε. Είναι πάντως σίγουρο ότι η Ιστορία των Μαθηματικών αρχίζει συγχρόνως με την Ιστορία του πολιτισμού.

Αυτά τα απλά μαθηματικά, η Αριθμητική και η Γεωμετρία των καθημερινών αναγκών, εξελίχθηκαν σιγά-σιγά στην επιστήμη που σήμερα ονομάζουμε Μαθηματικά.

Όπως είπαμε, η έννοια των φυσικών αριθμών είναι σύμφυτη με τη φύση των πραγμάτων και δεν θα την αναλύσουμε άλλο εδώ.

Το πρόβλημα που παρουσιάζεται στη συγκεκριμενοποίηση των φυσικών αριθμών είναι:

Πώς με λίγα σύμβολα, λίγες λέξεις και λίγους κανόνες θα μπορέσουμε να γράψουμε (να παραστήσουμε) και να ονομάσουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Τα λίγα σύμβολα με τα οποία μπορούμε να παραστήσουμε τους φυσικούς αριθμούς σε κάθε σύστημα τα λέμε ψηφία.

Το σύνολο των ψηφίων, των λέξεων και των κανόνων που χρησιμοποιούμε για την παράσταση και την ονομασία των αριθμών το λέμε αριθμητικό σύστημα.

Το σύνολο των συμβόλων (ψηφίων) και των κανόνων με τα οποία μπορούμε να γράψουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς σε ένα αριθμητικό σύστημα το λέμε γραπτή αρίθμηση, ενώ το σύνολο των λέξεων και των κανόνων που χρησιμοποιούμε για να δώσουμε ονόματα σε όλους τους φυσικούς αριθμούς το λέμε προφορική αρίθμηση.

Του λοιπού θα ασχοληθούμε κυρίως με τη γραπτή αρίθμηση, δηλαδή με το σύνολο των συμβόλων (ψηφίων) και των κανόνων που χρησιμοποιήθηκαν από διάφορους λαούς και πολιτισμούς κατά την αρχαιότητα για τη γραφή (παράσταση) των φυσικών αριθμών.

Σήμερα έχει γίνει διεθνώς αποδεκτό το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, που αποτελείται από τα σύμβολα 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 και το 0 και από λίγους απλούς κανόνες, που είναι γνωστοί σε όλους από τη γραφή και την ονοματολογία των φυσικών αριθμών και δεν είναι απαραίτητο να τους καταγράψω.

Αναφέρω ακόμη, γιατί θα το συναντήσομε πιο κάτω, ότι το δεκαδικό σύστημα γραφής είναι σύστημα θέσεως ή πιο απλά θεσιακό, δηλαδή η αξία ενός ψηφίου στην παράσταση ενός αριθμού εξαρτάται από τη θέση που κατέχει σ? αυτήν. Π.χ. στον αριθμό 222 τα διάφορα 2 έχουν διαφορετική αξία. Η αξία του πρώτου αριστερά είναι 200, του μεσαίου 20 και του τελευταίου 2.

Είναι όμως και προσθετικό, δηλαδή προστίθενται οι απλές μονάδες που παριστάνουν τα ψηφία στην παράσταση του αριθμού. Π.χ. 325=300+20+5.

clip_image002

Σχ. 1. Αρπεδονάπτες: Υπάλληλοι που μετρούσαν και οριοθετούσαν τους αγρούς στην αρχαία Αίγυπτο.

clip_image004

Σχ.2. Xωρομέτρες στην αρχαία Αίγυπτο 13ος π.Χ. αιώνας

Τα αρχαιότερα κείμενα με καθαρά μαθηματικό περιεχόμενο είναι μια συλλογή βαβυλωνιακών πινακίδων και μια αιγυπτιακών παπύρων που γράφτηκαν πριν από 4000 χρόνια περίπου, γύρω στο 2000 π.Χ

clip_image006 clip_image007

Σχ. 3. Αντίγραφο της διπλανής Σχ,4. Παλαιό βαβυλωνιακό

Βαβυλωνιακής πινακίδας. μαθηματικό κείμενο.

Η δημιουργία και η εξέλιξη των Μαθηματικών βοήθησε στη δημιουργία και στην εξέλιξη άλλων επιστημών όπως η Αστρονομία, η Φυσική, η Μηχανική, η Αρχιτεκτονική, η Χημεία.

Εμείς εδώ θα δούμε τα Μαθηματικά που χρησίμευσαν και χρησιμεύουν ακόμη στην καθημερινή ζωή των ανθρώπων, τα απλά μαθηματικά του λαού, τα πρακτικά μαθηματικά, αυτά που εξυπηρετούσαν τις συναλλαγές των ανθρώπων, οι οποίες σιγά-σιγά εξελίχθηκαν στο σημερινό εμπόριο. Με δυο λόγια θα δούμε τα συστήματα των αριθμών που κατασκεύασαν οι άνθρωποι και την Πρακτική Αριθμητική στην πορεία του χρόνου, δηλαδή τα σύμβολα (ψηφία) και τους κανόνες που διατύπωσαν και τις πρακτικές μεθόδους που επινόησαν για την εκτέλεση υπολογισμών με αριθμούς για να διευκολύνουν τη ζωή τους και το έργο του εμπορίου.

clip_image009

Σχ..5. Βαβυλωνιακή πινακίδα με μαθηματικό περιεχόμενο, η οποία χρονολογείται από την εποχή της Α΄ Βαβυλωνιακής Δυναστείας (1900 ? 1600 π.Χ.) και βρέθηκε στο Σενκερέχ της Μεσοποταμίας, μια περιοχή κοντά στον Ευφράτη ποταμό. Οι αριθμοί που περιέχει συνδέονται με το Πυθαγόρειο θεώρημα, πράγμα που αποδεικνύει ότι το θεώρημα αυτό ήταν γνωστό στους Βαβυλώνιους 1000 χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα.

Το σύνολο των κανόνων και των μεθόδων για την εκτέλεση πρακτικών υπολογισμών με αριθμούς μέχρι τα χρόνια του Αριστοτέλη θεωρούνταν από τους Έλληνες ως ιδιαίτερος κλάδος των μαθηματικών και καλούνταν Λογιστική. Μάλιστα, η λογιστική στην ιεραρχία των μαθηματικών κατείχε θέση πολύ κατώτερη από αυτήν της Αριθμητικής.

Οι μέθοδοι του αριθμητικού λογισμού χρησιμοποιούσαν φυσικά βοηθητικά μέσα υπολογισμού όπως τα δάκτυλα των χεριών, Δακτυλικός λογισμός, ή τεχνικά όπως οι Άβακες.

2. Δακτυλικός λογισμός.

Είναι λογικό από τότε που ο άνθρωπος ένιωσε την ανάγκη να απαριθμήσει κάποια αντικείμενα να χρησιμοποιούσε τα δάκτυλά του. Για να γίνει κατανοητό τι εννοούμε με τον όρο Δακτυλικός λογισμός, θα παραθέσουμε ορισμένα παραδείγματα.

1ο παράδειγμα.

Οι αρχαίοι Έλληνες, για να πολλαπλασιάσουν ακέραιους αριθμούς από το 6 έως το 10, χρησιμοποιούσαν τα δάχτυλα των χεριών τους με τον ακόλουθο τρόπο (μέθοδος-τεχνική). Αντιστοιχούσαν στα δάκτυλα κάθε χεριού τους αριθμούς από το 6 ως το 10 όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Έπειτα για να βρουν π.χ. το γινόμενο 8?9 ένωναν το δάκτυλο 8 του ενός χεριού με το 9 του άλλου (βλ. σχήμα). Το άθροισμα των ενωμένων δακτύλων και αυτών που είναι κάτω από αυτά (αυτά που είναι μέσα στον κύκλο) μας δίνουν τις δεκάδες(Δ) του γινομένου, δηλαδή 3 (του ενός χεριού)+4 (του άλλου χεριού)=7Δ = 70 μονάδες και το γινόμενο των δακτύλων που είναι πάνω από τα ενωμένα δάκτυλα τις μονάδες, δηλαδή 2 (του ενός χεριού)x1 (του άλλου)=2 μονάδες. Έπειτα πρόσθεταν τα δυο αποτελέσματα 70+2=72 μονάδες.

clip_image011

Σχ. 6. Θέση των δακτύλων στον πολλαπλασιασμό 8x.9

7 δεκάδες + 2 μονάδες = 72

Σημείωση.

Και σήμερα πολλές φορές χρησιμοποιούμε τα δάκτυλα των χεριών μας με διάφορους τρόπους για να κάνουμε λογαριασμούς.

2ο παράδειγμα.

Τον 7ο μ.Χ. αιώνα o Ιρλανδός λόγιος Βέδας (Beda 673-735), Βενεδικτίνος μοναχός που αργότερα ανακηρύχθηκε άγιος της Ρωμαιοκαθολικής Εκκλησίας, επινόησε μια μέθοδο παράστασης των ακέραιων (φυσικών) αριθμών με τη χρήση των χεριών, η οποία έμεινε γνωστή ως «Λογισμός ή διάλεκτος των δακτύλων». Η μέθοδος αυτή καθιερώνει ορισμένες χειρονομίες (κινήσεις) του αριστερού χεριού για την παράσταση των αριθμών 1, 2, 3, ??10, 20. 30, ?90. Οι ίδιες χειρονομίες όταν εκτελούνται με το δεξί χέρι δηλώνουν τους αριθμούς 1000, 2000,?, 9000, 100, 200?, 900. Άλλες χειρονομίες του αριστερού χεριού παριστούν τους αριθμούς 10.000, 20.000,?,90.000 ενώ οι ίδιες κινήσεις όταν εκτελούνται με το δεξί χέρι δηλώνουν τους αριθμούς 100.000, 200.000,?,900.000 αντίστοιχα.

Μέθοδοι υπολογισμού με τη χρήση των δακτύλων βρέθηκαν στους πιο διαφορετικούς αρχαίους πολιτισμούς και μπορούμε να πούμε πως αποτελούν ένα υπόστρωμα αρχέγονης

μαθηματικής γνώσης.

3ο παράδειγμα.

Σε ένα χωρίο της «Βίβλου των Νεκρών» της αρχαίας Αιγύπτου, που βασίζεται σε μια μαγική επίκληση προς τον πορθμέα μεταφοράς των νεκρών του Κάτω Κόσμου (η οποία είναι καταγραμμένη στα «κείμενα των πυραμίδων») γίνεται για πρώτη φορά αναφορά σε μέθοδο μέτρησης των δακτύλων. Αυτό μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι είναι πιθανό η μεθοδολογία αυτή να χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στην αρχαία Αίγυπτο.

Στην επίκληση αυτή, για την απόκτηση πορθμείου, ο νεκρός βασιλιάς προσπαθεί να πείσει τον πορθμέα (του Κάτω Κόσμου) να τον αφήσει να περάσει στην ανατολική (απέναντι) όχθη μιας διώρυγας του Κάτω Κόσμου. Ο πορθμέας φέρνει αντιρρήσεις λέγοντάς του:

Αυτός ο μεγαλοπρεπής θεός (στην άλλη όχθη) θα πει: Μήπως μου έφερες έναν άνθρωπο πού δεν μπορεί να μετρήσει τα δάκτυλά του;

Όμως ο νεκρός βασιλιάς ήταν μεγάλος μάγος και ήταν σε θέση να αποστηθίσει μερικούς στίχους που απαριθμούν τα δέκα δάκτυλά του, έτσι ικανοποίησε τις απαιτήσεις του πορθμέα

clip_image013

Σχ. 7. Το πλοίο των νεκρών στον Κάτω Κόσμο.

Σημείωση 1.

Είναι προφανές πως εδώ αγγίζουμε ένα επίπεδο πολιτισμού όπου το μέτρημα με τα δάκτυλα θεωρούνταν δύσκολη γνώση με μαγική σημασία. Αυτή η (αρχέγονη) σχέση ανάμεσα στους αριθμούς και στη μαγεία παρέμεινε ζωντανή σε όλες τις εποχές και τη βλέπουμε στην πυθαγόρεια και την πλατωνική φιλοσοφία καθώς και σε άλλες μορφές θρησκευτικού μυστικισμού.

Σημείωση 2.

Στην πορεία της ανθρωπότητας από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα δημιουργήθηκαν και χρησιμοποιήθηκαν διάφορα αριθμητικά συστήματα όπως: Το εξηκονταδικό από τους Σουμέριους, το εξηκονταδικό και το δεκαδικό από τους Βαβυλώνιους και τους Αιγυπτίους, το δεκαδικό από τους αρχαίους Έλληνες και τους Ρωμαίους, το πενταδικό και το εικοσαδικό από τους Μάγια και τους Αζτέκους της Αμερικής. Τελικά επικράτησε και καθιερώθηκε σε όλους τους πολιτισμένους λαούς το δεκαδικό σύστημα. Το δεκαδικό, το πενταδικό και το εικοσαδικό έχουν σχέση με τα δάχτυλα του ανθρώπου.

3. Άβακες.

Η λέξη άβακας στην αρχική και γενική της σημασία δηλώνει τον πίνακα, την πλάκα, τη σανίδα.

Στα Μαθηματικά η λέξη άβακας σημαίνει το αριθμητικό όργανο που χρησίμευε για να κάνουν υπολογισμούς με το χέρι, κυρίως προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Οι άβακες που χρησιμοποιούσαν στην αρχαιότητα αποτελούνταν από μια τετράγωνη σανίδα που έφερε μια λεπτή επίστρωση άμμου ή σκόνης. Πάνω σ? αυτήν έγραφαν γράμματα ή έκαναν μαθηματικούς υπολογισμούς. Συχνά ο άβακας (η σανίδα) είχε ένα πλαίσιο για να συγκρατεί την άμμο.

Αργότερα η άμμος αντικαταστάθηκε με μια λεπτή στρώση κεριού πάνω στην οποία χάραζαν με ένα αιχμηρό αντικείμενο γράμματα, σχήματα ή έκαναν μαθηματικούς υπολογισμούς. Όταν ήθελαν να σβήσουν τα γραμμένα χρησιμοποιούσαν ένα άλλο αντικείμενο με πλατιά απόληξη.

Εκτός από τη μορφή του άβακα που περιγράψαμε, πολλοί λαοί στην αρχαιότητα χρησιμοποίησαν και άλλες μορφές άβακα. Π.χ. χρησιμοποιήθηκαν άβακες με ένα πλαίσιο που είχε παράλληλες χορδές ή ράβδους πάνω στις οποίες γλιστρούσαν ελεύθερα σφαιρίδια.

Μια παραλλαγή του άβακα αυτού, που αποτελούνταν από μια λίθινη πλάκα με χαραγμένα παράλληλα αυλάκια μέσα στα οποία κυλούσαν τα σφαιρίδια (λίθινος άβακας), βρέθηκε στην Ελευσίνα.

clip_image015

Σχ.8.. Ρωμαϊκός άβακας με κινητά σφαιρίδια για την παράσταση των αριθμών

Σήμερα χρησιμοποιείται ακόμη ένα είδος άβακα σε χώρες τις Μέσης Ανατολής την Ιαπωνία και τη Ρωσία για να κάνουν λογαριασμούς, αντί των σύγχρονων αριθμητικών μηχανών (κομπιουτεράκια). Λέγεται μάλιστα πως ένας έμπειρος χρήστης αυτού του άβακα μπορεί να συναγωνιστεί σε ταχύτητα τις σύγχρονες αριθμομηχανές.

Σημειώνω ακόμη ότι και σήμερα σε όλο τον κόσμο χρησιμοποιείται ο «σχολικός άβακας» ως εποπτικό μέσο για τη διδασκαλία της αριθμητικής.

Στο επόμενο σχήμα οι ενδείξεις Μ, Δ, Ε, Χ στα αριστερά του σχήματος δηλώνουν (Μ) μονάδες, (Δ) δεκάδες, (Ε) εκατοντάδες, (Χ) χιλιάδες

Στα δεξιά του σχήματος υπάρχουν 7 σφαιρίδια στις χιλιάδες, 0 στις εκατοντάδες, 4 στις δεκάδες και 3 στις μονάδες. O αριθμός που παριστάνουν είναι ο 7043.

clip_image016

Σχ. 9. Σχολικός άβακας, κοινώς αριθμητήρι.

Ένα παράδειγμα πρόσθεσης των αριθμών 375 και 56 με άβακα σε τρεις φάσεις.

Χ Ε Δ Μ

clip_image018

Σχ. 10. Μια πρόσθεση με άβακα.

Οι μονάδες (Μ) οι δεκάδες (Δ) και οι εκατοντάδες (Ε) αντιπροσωπεύονται από ισάριθμα σφαιρίδια στην πρώτη στη δεύτερη και στην τρίτη στήλη από τα δεξιά προς τα αριστερά, αντίστοιχα.. Όταν τα στοιχεία μιας στήλης φτάσουν τα 10 αντικαθίστανται με ένα στοιχείο της προηγούμενης στήλης, όπως βλέπομε στα παραπάνω σχήματα συγκρίνοντας τις τρεις διαδοχικές φάσεις της πρόσθεσης.

Πρώτη φάση: 5+6=11 Μ και 7+5 = 12 Δ (πάνω αριστερό σχέδιο).

Δεύτερη φάση: 11 Μ = 1 Δ + 1 Μ και 12+1= 13 Δ (πάνω δεξιό σχέδιο).

Τρίτη φάση : 13 Δ = 1 Ε +3 Δ και 1+3=4 Ε (κάτω σχέδιο).

Το άθροισμα είναι 431.

clip_image020

Σχ. 11. Άβακας που χρησιμοποιείται ακόμη σε πλυντήρια Κινέζων στην Ευρώπη και στην Αμερική

Σημείωση:

Ο αριθμητικός άβακας είναι ο πρόδρομος των σημερινών υπολογιστών. Οι αρχαίοι Έλληνες και οι Ρωμαίοι έκαναν ευρεία χρήση του άβακα. Από τον 12ο μ.Χ. αιώνα με την καθιέρωση του Ινδοαραβικού συστήματος γραφής των αριθμών, αυτού που χρησιμοποιούμε σήμερα, ο άβακας έχασε ένα μεγάλο μέρος από την αρχική αξία του και σήμερα χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά ως εποπτικό μέσο διδασκαλίας στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση.

4. Η Λογιστική στην αρχαιότητα.

4.1. Η Λογιστική των Βαβυλωνίων ? Αριθμητικό σύστημα ? γραφή των αριθμών ? Πίνακες ? Βαβυλωνιακή προπαίδεια ? Μέτρα και σταθμά.

Η αρίθμηση, προφορική και γραπτή, είναι τα δυο βασικά μέσα έκφρασης στον τομέα της αριθμητικής.

Α) Το αριθμητικό σύστημα των Βαβυλωνίων και η γραφή των αριθμών.

Οι Βαβυλώνιοι γύρω στο 2000 π.Χ. είχαν αναπτύξει ένα σύστημα αρίθμησης με βάση το εξήντα, (εξηκονταδικό σύστημα), το οποίο κληρονόμησαν από τους Σουμέριους.

clip_image021clip_image022Για τη γραφή των αριθμών στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούσαν μόνο δυο σύμβολα, την κατακόρυφη σφήναclip_image023, για να παραστήσουν το 1 και τη διπλή σφήνα clip_image024 , για να παραστήσουν το 10.

Για να γράψουν τους αριθμούς από το 1 ως το 59 χρησιμοποιούσαν ένα ψευδοδεκαδικό σύστημα όμοιο με το κατά πολύ μεταγενέστερο ρωμαϊκό. Δηλαδή έγραφαν και επαναλάμβαναν τα δυο σύμβολα όσες φορές ήταν απαραίτητο για να σχηματισθεί προσθετικά ο αριθμός.

Π.χ. τους αριθμούς από το 1 έως το 10 τους έγραφαν:

clip_image026 clip_image028 clip_image030

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Σχ.12. Οι αριθμοί από το 1 έως το 10 στο βαβυλωνιακό σύστημα γραφής.

Για να παραστήσουν τον 43 έγραφαν: clip_image031clip_image031[1]clip_image031[2]clip_image031[3]clip_image032

Δηλαδή έγραφαν τις δεκάδες του και τις μονάδες του, όπως κάνομε και σήμερα.

Για να αποφεύγουν μακροσκελείς παραθέσεις συμβόλων στην παράσταση (γραφή) των αριθμών χρησιμοποιούσαν ένα σύμβολο αφαίρεσης, το clip_image033 , που σήμαινε «βγάλε».

Έτσι π.χ. η παράσταση clip_image034 σημαίνει: 50 βγάλε 2 = 48.

Για να γράψουν τους υπόλοιπους αριθμούς επέκτειναν την αξία της απλής σφήνας και παρέστησαν με αυτήν όλες τις άλλες μονάδες του εξηκονταδικού συστήματος δηλαδή το 601=60, το 602=3600, το 603=216.000 και γενικά κάθε δύναμη του 60 θετική ή αρνητική, δηλαδή:

? clip_image035 clip_image035[1] clip_image035[2] clip_image035[3] clip_image035[4] clip_image035[5] ?

? 60-2=1/602clip_image037 60-1=1/60 600=1 601=60 602=3600 603=216000 .,.

Άρα στο βαβυλωνιακό σύστημα η τιμή ενός συμβόλου δεν είναι εντελώς (μονοσήμαντα) καθορισμένη. Οι Βαβυλώνιοι, για να περιορίσουν αυτή την αοριστία, δέχτηκαν ότι η τιμή κάθε συμβόλου εξαρτάται από τη θέση που κατέχει στη σημειογραφία του αριθμού, όπως ακριβώς κάνομε και εμείς σήμερα με το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, όπου για παράδειγμα στον αριθμό 22 το αριστερό 2 σημαίνει δυο δεκάδες δηλαδή 20 μονάδες, ενώ το δεξιό 2 σημαίνει δύο μονάδες. Για το λόγο αυτό τα συστήματα αυτά χαρακτηρίζονται θεσιακά.

Παραδείγματα γραφής αριθμών από τους Βαβυλώνιους:

Ο 100 μπορούσε να γραφεί clip_image038 δηλαδή 60 και 10 και 10 και 10 και 10,

ο 152 clip_image039 δηλαδή 60 και 60 και 10 και 10 και 10 και 1 και 1.

Σχόλιο.

(Επειδή η κατανόηση του σχολίου αυτού απαιτεί κάποιες μαθηματικές γνώσεις, μπορεί να μη διαβαστεί.)

Ακόμη και με την παραδοχή που έκαμαν οι Βαβυλώνιοι σχετικά με τη θέση ενός συμβόλου στη σημειογραφία των αριθμών, το πρόβλημα της γραφής και της ανάγνωσης ενός αριθμού δεν λύθηκε εντελώς. Π.χ. η γραφή clip_image035[6] clip_image035[7]δεν ξέρουμε αν παριστάνει τον 1+1=2 ή το 601+1=61 ή τον 602+600= 3600+1=3601 ή τον 602+601=3600+60=3660 κ.λπ. ή τον 601+60-1=60+1/60 ή τον 60-1+60-2= 1/60+1/602 κ.λπ. Οι ασάφειες αυτές οφείλονται στο ότι το σύστημα γραφής των Βαβυλωνίων δεν είχε το μηδέν, ούτε και την υποδιαστολή για την παράσταση των εξηκονταδικών κλασμάτων. Αν για παράδειγμα χρησιμοποιούσαν ένα σύμβολο π.χ. τοclip_image041 για να δηλώσουν την ανυπαρξία μονάδων μιας τάξης, δηλαδή αυτό που εννοούμε με τον όρο μηδέν, τότε η παράσταση clip_image035[8] clip_image035[9]θα σήμαινε τον 61 ή τον 600+1/601=1+1/60 ή τον 1/60 +1/3600 κ.λπ. Όμως δεν μπορούσε να σημαίνει αριθμούς μεγαλύτερους από τον 61, γιατί ο 602+1=3601 θα γραφότανclip_image035[10]clip_image041[1]clip_image035[11], ο 602 + 601=3660 θα γραφόταν clip_image035[12] clip_image035[13]clip_image041[2], ούτε π.χ ο 603+601, γιατί τότε θα έγραφαν

clip_image035[14] clip_image041[3]clip_image035[15]clip_image041[4] κ.λπ..

Αν οι Βαβυλώνιοι είχαν στο σύστημά τους ένα σύμβολο με το οποίο να χώριζαν το ακέραιο από τα εξηκονταδικό μέρος (το εξηκονταδικό κλάσμα), δηλαδή αν είχαν κάτι ανάλογο με την υποδιαστολή, που χρησιμοποιούμε σήμερα για να χωρίζουμε το ακέραιο μέρος ενός αριθμού από το δεκαδικό (κλάσμα), π.χ. το clip_image043, τότε η παράσταση clip_image035[16]clip_image035[17] θα ήταν ο 61, γιατί ο 600+60-1=1+1/60 θα γραφόταν clip_image035[18]clip_image043[1]clip_image035[19], ο 60-1+60-2 =1/601+1/602 =1/60+1/3600 θα γραφόταν clip_image043[2]clip_image035[20]clip_image035[21] κ.λπ.

Παρ? όλα τα μειονεκτήματά του το βαβυλωνιακό σύστημα είχε και πλεονεκτήματα, όπως για παράδειγμα τα λίγα σύμβολα που χρησιμοποιούσε και η ευχέρεια με την οποία εκτελούνταν οι πράξεις. Πέρασαν χιλιάδες χρόνια μέχρι να επινοηθούν και να καθιερωθούν τα δυο σύμβολα, το μηδέν (0) και η υποδιαστολή(,), για να φτάσουν οι άνθρωποι στη γραφή των αριθμών στο σημερινό δεκαδικό σύστημα.

Η επινόηση του μηδενός αποδίδεται σήμερα στους Ινδούς, αυτό όμως φαίνεται να μην είναι εντελώς σωστό, γιατί η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συμβόλου σε μια ενδιάμεση θέση στην παράσταση των αριθμών ενός θεσιακού συστήματος αρίθμησης, που να δηλώνει πως δεν υπάρχουν μονάδες στη θέση αυτή, δηλαδή ενός συμβόλου μηδέν, ανήκει στους Βαβυλώνιους οι, οποίοι το χρησιμοποιούσαν σε αστρονομικά κείμενα από το 300 π.Χ. Δεν είναι λοιπόν καθόλου απίθανο η επινόηση του μηδενός από τους Ινδούς να είχε τη ρίζα της στους Βαβυλώνιους.

Σημείωση 1.

Αξίζει να σημειωθεί ότι η υποδιαίρεση της ώρας σε 60 λεπτά και κάθε λεπτού σε 60 δεύτερα, καθώς και υποδιαίρεση της μοίρας σε 60 πρώτα λεπτά και κάθε πρώτου σε 60 δεύτερα είναι κατάλοιπα του εξηκονταδικού συστήματος.

Σημείωση 2.

Οι Σουμέριοι ήταν λαός που κατοικούσε την αρχαία Σουμερία, μια περιοχή στα νότια της Μεσοποταμίας, 3500 χρόνια π.Χ. Είχαν αναπτύξει σπουδαίο πολιτισμό και θεωρούνται από τις πιο αξιόλογες ομάδες στην ιστορία του ανθρώπου. Μερικά από τα επιτεύγματά τους είναι τα ακόλουθα:

Δημιούργησαν τις πρώτες πόλεις ? κράτη.

Επινόησαν τη σφηνοειδή γραφή.

Επινόησαν ένα αριθμητικό σύστημα, το οποίο στα τέλη της 3ης χιλιετίας π. Χ. εξελίχθηκε σε εξηκονταδικό θεσιακό σύστημα.

Οι Σουμέριοι στην αρχή της 2ης χιλιετίας π.Χ. αναμείχθηκαν με τους Ακκάδες που κατοικούσαν βορειότερα και απετέλεσαν την πρώτη Βαβυλωνιακή δυναστεία (1900 ? 1600 π.Χ.).

Σημείωση 3.

Η επιλογή του 60 ως βάση του συστήματος των Βαβυλωνίων πιθανόν να έχει σχέση με το έτος εκείνης της εποχής που το υπολόγιζαν σε 360 ημέρες. Μπορεί ακόμη στην επιλογή του να έπαιξε ρόλο και το ότι διαιρείται με πολλούς αριθμούς (τους: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15,20, 30).

Β) Ο Λογισμός (οι πράξεις) στο Βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης.

Τις πράξεις πρόσθεση και αφαίρεση τις έκαναν σχεδόν με την ίδια ευκολία που τις κάνομε και εμείς σήμερα, ενώ για τον πολλαπλασιασμό χρησιμοποιούσαν πίνακες. Έτσι οι Βαβυλώνιοι στις αρχές ακόμη της 2ης χιλιετίας π.Χ. μπορούσαν να εκτελούν οποιονδήποτε πολλαπλασιασμό στο εξηκονταδικό σύστημα χρησιμοποιώντας μόνο τους βασικούς πίνακες πολλαπλασιασμού που περιείχαν τα γινόμενα από 1?1 έως 60?60, όπως ακριβώς κάνουμε εμείς σήμερα με τον Πυθαγόρειο πίνακα από 1?1 έως 10?10 (προπαίδεια).

Με τους ίδιους πίνακες που πολλαπλασίαζαν τους ακεραίους μπορούσαν να πολλαπλασιάζουν και εξηκονταδικά κλάσματα, γιατί τα πολλαπλασίαζαν σαν να ήταν ακέραιοι, όπως κάνουμε και εμείς σήμερα με τους δεκαδικούς αριθμούς (ή δεκαδικά κλάσματα), που τους πολλαπλασιάζουμε σαν να είναι ακέραιοι και μετά βάζουμε την υποδιαστολή, την οποία, όπως είπαμε, δεν είχαν οι Βαβυλώνιοι, και αυτό, βέβαια, ήταν μειονέκτημα. Οι Βαβυλώνιοι γραφείς έκαναν εκτεταμένη χρήση πινάκων διαφόρων ειδών. Εκτός από τους πίνακες πολλαπλασιασμού είχαν και πίνακες αντίστροφων αριθμών, που τους χρησιμοποιούσαν για να κάνουν διαιρέσεις, καθώς το αποτέλεσμα μιας διαίρεσης α : β είναι το γινόμενο του α επί τον αντίστροφο του β (δηλαδή τον clip_image045), π.χ. 20:5=20xclip_image047.

Ακόμη είχαν πίνακες με τα τετράγωνα των αριθμών: 22 , 32, ?., τους κύβους: 23, 33, ?

τετραγωνικές ρίζες (clip_image049 ), κυβικές ρίζες ( 3clip_image051) και άλλους.

Τέλος πολλοί από τους μαθηματικούς πίνακες των Βαβυλωνίων συνδυάζονται με πίνακες μέτρων και σταθμών που χρειάζονταν στην καθημερινή ζωή.

Είναι βέβαιο ότι οι πίνακες πολλαπλασιασμού και διαίρεσης αναπτύχθηκαν ταυτόχρονα με την ανάπτυξη των συναλλαγών μεταξύ των ανθρώπων και την οργάνωση των κοινωνιών. Αξίζει να σημειωθεί ότι τα περισσότερα βαβυλωνιακά κείμενα δεν αναφέρονται στη θρησκεία και τη μαγεία, αλλά σε οικονομικά θέματα.

Σημείωση.

Οι μονάδες μέτρησης (τα μέτρα και τα σταθμά) δεν έχουν άμεση σχέση με το αντικείμενο της παρούσας μελέτης, έχουν όμως έμμεση, γιατί έδιναν καθημερινά τις αφορμές στον απλό λαό να κάνει λογαριασμούς. Γι? αυτό, ενώ αρχικά οι μονάδες δεν περιλαμβάνονταν στο αντικείμενο της έρευνας αυτής, στην πορεία αποφάσισα να τις περιλάβω και να καταγράψω τις κυριότερες από αυτές για κάθε πολιτισμό που θα παρουσιάζω στη συνέχεια

Γ) Μέτρα και σταθμά των Βαβυλωνίων.

Στους αρχαίους πολιτισμούς συναντούμε μονάδες μήκους που έχουν σχέση με μέλη ανθρώπινου σώματος, π.χ. πόδας, πήχης, δάκτυλος, παλάμη.

Στην Ιστορία Μαθηματικών του G. Loria (Γένοβα το 1928) αναφέρεται ότι οι Βαβυλώνιοι είχαν καθιερώσει ένα πλήρες σύστημα μέτρων και σταθμών, που αποτελούνταν από τις παρακάτω μονάδες:

Μονάδες μήκους.

Ο πήχης ίσος με 0,496 μέτρα ( η απόσταση από τον αγκώνα μέχρι το άκρο του μικρού δακτύλου),

ο δάκτυλος το 1/30 του πήχη,

ο πόδας τα 2/3 του πήχη ή 20 δάκτυλοι (ίσος με το μήκος πέλματος ενήλικου άνδρα).

Μονάδες χωρητικότητας (όγκου):

1/144 του κυβικού πήχη.

Μονάδες βάρους:

Το βάρος όγκου νερού ίσο προς το 1/240 του κυβικού πήχη.

Νεότερες πηγές ως βαβυλωνιακό σύστημα μέτρων και σταθμών αναφέρουν:

Μονάδες μήκους.

Ο βαβυλωνιακός δάκτυλος ή κας ίσος με 0,530 μέτρα (βασική μονάδα μήκους)..

το σούσι, 1/30 του βαβυλωνιακού δακτύλου,

ο πόδας (πούς) τα 2/3 του βαβυλωνιακού δακτύλου.

Μονάδες όγκου για τα υγρά.

Το κα, ο όγκος κύβου με πλευρά 0,10 μέτρα,

το τζιν, το 1/60 του κα.

Μονάδες βάρους.

Η μνα ίση με 640 ή 978 γραμμάρια,

το σίκλο ίσο με το 1/60 της μνας.

το τάλαντο ίσο με 60 μνες.

Άλλη πηγή αναφέρει ότι οι Βαβυλώνιοι είχαν την ελαφρά μνα ίση με 502,3 γραμμάρια και τη βαρεία μνα με διπλάσιο βάρος.

Σημείωση.

Στα οικονομικά κείμενα των Βαβυλωνίων οι μονάδες βάρους που μετρούσαν το ασήμι είχαν πρωταρχική σημασία και ήταν:

Η μνα (από το ακκαδικό manu ή το ελληνικό μάνα) και

ο σίκλος ίσος με το 1/60 της μνας.

Για το λόγο αυτό οποιοδήποτε εξηκοστό μιας μονάδας μπορούσε να ονομαστεί σίκλος στις οικονομικές συναλλαγές.

Σχόλιο.

Η μέτρηση του βάρους, που ήταν η αιτία να δημιουργηθούν τα σταθμά, πιστεύω ότι προέκυψε από την ανάγκη να γίνουν ευκολότερες οι συναλλαγές μεταξύ των ανθρώπων μετά την οργάνωσή τους σε κοινωνίες. Αν συμβαίνει αυτό, η επινόηση σταθμών θα πρέπει να έγινε μετά τη δημιουργία μονάδων για τη μέτρηση του χώρου (μήκους, επιφάνειας, όγκου), ίσως μάλιστα πολύ αργότερα, γιατί αρχικά οι συναλλαγές μεταξύ των ανθρώπων γίνονταν με ανταλλαγή προϊόντων. Αυτό το ανταλλακτικό εμπόριο έφθασε σ? εμάς και εφαρμοζόταν, κυρίως σε ορεινά χωριά, μέχρι και τη δεκαετία του 1940. Π.χ. σε μικρά και απομονωμένα χωριά του νομού Χανίων αντάλλασσαν το αλάτι οκά ? οκά (ίσα βάρη) με τις πατάτες, το κρέας, το μέλι και τη γραβιέρα μεταξύ τους οκά ? οκά (ισοβαρή). Το κρέας με λάδι στην αναλογία μια οκά κρέας μιάμιση ή δυο οκάδες λάδι ανάλογα και με την προσφορά και τη ζήτηση. Ένα μεροκάματο στα αμπελοσκάμματα πληρωνόταν, συνήθως, με 3 οκάδες λάδι.

4.2. Η Λογιστική των αρχαίων Αιγυπτίων ? Αιγυπτιακός λογισμός.

Α) Το αριθμητικό σύστημα των αρχαίων Αιγυπτίων.

Από παπύρους του 3000 π.Χ. μαθαίνουμε ότι στην αρχαία Αίγυπτο χρησιμοποιούσαν το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Για να γράψουν τους φυσικούς αριθμούς χρησιμοποιούσαν επτά ιερογλυφικά σύμβολα με τα οποία παριστούσαν τις δυνάμεις του 10: 100=1, 101=10, 102=100, 103=1000, 104=10.000, 105=100.000, 106=1.000.000, σύμφωνα με την παρακάτω αντιστοιχία, και έναν κανόνα.

clip_image052

1 10 100 1000 10.000 100.000 1.000.000

Σχ. 13. Σύμβολα της ιερογλυφικής γραφής των δυνάμεων του 10 από τους αρχαίους Αιγυπτίους.

Ο κανόνας.

clip_image053Για να γράψουμε έναν αριθμό επαναλαμβάνουμε τα κατάλληλα σύμβολα των δυνάμεων του 10 μέχρι να σχηματισθεί (προσθετικά) ο αριθμός.

Σημείωση.

Με τα σύμβολα αυτά και με τη βοήθεια του κανόνα οι αρχαίοι Αιγύπτιοι μπορούσαν να γράφουν τους αριθμούς από το 1 έως 9.999.999, που θεωρούνταν αρκετοί για τις καθημερινές τους ανάγκες.

Οι Αιγύπτιοι έγραφαν τους αριθμούς από αριστερά προς τα δεξιά με τη σειρά: μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες κλπ., δηλαδή ανάποδα απ? ό,τι τους γράφουμε εμείς σήμερα. clip_image054

clip_image055clip_image056clip_image057Π.χ. ο 12 γραφόταν clip_image058 clip_image059, ο 152 clip_image058[1] clip_image059[1] clip_image059[2]clip_image059[3]clip_image059[4]clip_image059[5] clip_image060

και ο αριθμός 232.468 clip_image061

Στα δυο σχεδιάσματα που ακολουθούν είναι γραμμένοι οι αριθμοί από το 1 έως το 10 σε δύο από της γραφές των αρχαίων Αιγυπτίων (βλ. Λογισμό σημείωση 2).

clip_image062

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Σχ,14. Ιερογλυφική γραφή των αριθμών από το 1 έως το 10 από τους αρχαίους Αιγυπτίους.

clip_image063

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Σχ. 15. Ιερατική γραφή των αριθμών από το 1 έως το 10 από τους αρχαίους Αιγυπτίους.

Οι clip_image054[1]αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν ακόμη τα κλάσματα με αριθμητή το 1, δηλαδή τις κλασματικές μονάδες 1/2, 1/3, 1/4 ? , καθώς και το κλάσμα 2/3.

Για τη γραφή των κλασμάτων οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν πάνω από τους αριθμούς το ιερογλυφικό σύμβολο clip_image065 που σημαίνει κάτι σαν μέρος.

Έτσι π.χ. το κλάσμα 1/3 το έγραφαν clip_image066 , ενώ το κλάσμα 2/3 clip_image067

clip_image069

Σχ. 16. Στήλη του 1450 π.Χ. με αιγυπτιακή ιερογλυφική γραφή. Στα έγχρωμα μέρη διακρίνονται αριθμητικά σύμβολα.

Β) Ο Λογισμός (οι πράξεις) στο Αιγυπτιακό σύστημα αρίθμησης.

Ηclip_image070clip_image071 μέθοδος που ακολουθούσαν οι Αιγύπτιοι στους υπολογισμούς ήταν στην ουσία προσθετική. clip_image072Για τις πράξεις πρόσθεση και αφαίρεση μετρούσαν τα σύμβολα που παρίσταναν τις μονάδες κάθε τάξης και όταν συμπλήρωναν δέκα μονάδες μιας τάξης τις αντικαθιστούσαν με μια μονάδα της αμέσως επόμενης τάξης, όπως ακριβώς κάνουμε και εμείς σήμερα.

Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει η μέθοδος που εφάρμοζαν στον πολλαπλασιασμό. Η μέθοδος αυτή βασίζεται σε διαδοχικούς διπλασιασμούς και στην πρόσθεση. Π.χ. για να υπολογίσουν το γινόμενο 13?12 εργάζονταν ως εξής:

/ ( 1 φορά το 12) 12

1ος διπλασιασμός (2 φορές το 12) 24

2ος ,, / (4 φορές το 12) 48

3ος ,, / (8 φορές το 12) 96

???????????????????????-

άθροισμα 1+4+8=13 φορές το 12 156.

Σημείωση1 .

Οι πλάγιες γραμμές δηλώνουν τους αριθμούς που πρέπει να προστεθούν.

Η μέθοδος αυτή του πολλαπλασιασμού αποτελεί τη βάση ολόκληρης της Αιγυπτιακής αριθμητικής. Μάλιστα διδασκόταν στα ελληνικά σχολεία τα πρώτα μεταχριστιανικά χρόνια. με την ονομασία «Αιγυπτιακός λογισμός».

Τη διαίρεση την εκτελούσαν με τη βοήθεια του πολλαπλασιασμού, γι? αυτό δεν την θεωρούσαν ξεχωριστή πράξη. Π.χ. για να διαιρέσουν το 18 με το 3, πολλαπλασίαζαν το 3 (με τη μέθοδο του διπλασιασμού), μέχρις ότου βρουν το 18, δηλαδή έλεγαν:

1 φορά το 3 3

/2 φορές το 3 6

/4 φορές το 3 12

???????????????

άθροισμα (2+4)=6 φορές το 3 18

Η διαδικασία όμως αυτή δεν είναι τόσο απλή όταν η διαίρεση δεν είναι τελεία. Π.χ. στην περίπτωση 16:3 έλεγαν:

/1 φορά το 3 3

2 φορές το 3 6

/4 φορές το 3 12

?????????????????-

άθροισμα (1+4)=5 φορές το 3 15

Δηλαδή 5 φορές το 3 κάνει 15 οπότε μας λείπει και μια μονάδα (16 ?15 = 1). Έτσι προέκυπτε η ανάγκη των κλασμάτων

Έλεγαν λοιπόν: Το ένα τρίτο του τρία είναι ένα, δηλαδή τρεις φορές το 1/3 είναι 1, άρα το ζητούμενο κλάσμα είναι το ένα τρίτο και το αποτέλεσμα της διαίρεσης αυτής είναι 51/3 και το έγραφανclip_image073 clip_image074 στην ιερατική γραφή.

Στην πρόσθεση με κλάσματα π.χ. 1/3+1/5, έγραφαν clip_image076 χωρίς να γράφουν το αποτέλεσμα με ένα άλλο σύμβολο.

Στον πολλαπλασιασμό και στη διαίρεση κλασμάτων ακολουθούσαν πάλι το διπλασιασμό των μοναδιαίων κλασμάτων αλλά και ειδικούς κανόνες που συνοψίζονταν στον μαθηματικό πάπυρο του Ριντ (βλ. σχ.17), ο οποίος μεταξύ άλλων περιέχει και θεωρία κλασμάτων.

clip_image078

Σχ.17. Ο αιγυπτιακός πάπυρος του Ρίντ (Rhind).

Ο πάπυρος του Ριντ περιέχει ένα μαθηματικό πρόβλημα σε δύο γραφές:. Στο πάνω μέρος είναι σε ιερατική γραφή, ενώ στο κάτω μέρος έχει μεταγραφεί σε ιερογλυφική γραφή. Ο πάπυρος αυτός, που σήμερα βρίσκεται στο Βρετανικό Μουσείο του Λονδίνου, αντιγράφηκε το 1650 π.Χ. περίπου, από τον γραφέα Aχμέ ή Αχμή, από έναν πρωτότυπο πάπυρο που χρονολογείται στο 1850 π.Χ. Το όνομά του οφείλεται στο όνομα του Σκοτσέζου δικηγόρου A. H. Rhind, που τον αγόρασε το 1858 στο Λούξορ.

Οι Αιγυπτιολόγοι, για να μεταφράσουν ένα κείμενο από την ιερατική γραφή σε μια σύγχρονη γλώσσα, το μεταγράφουν πρώτα στην ιερογλυφική γραφή.

Εκτός από τον πάπυρο του Ριντ υπάρχουν και άλλα τεκμήρια για τη μελέτη της Αιγυπτιακής αριθμητικής. Ένα μεγάλο μαθηματικό κείμενο περιέχεται στον πάπυρο της Μόσχας, το οποίο συμφωνεί με τους κανόνες που περιγράφει ο πάπυρος του Ριντ.

Σημείωση2.

Στην αρχαία Αίγυπτο χρησιμοποιούσαν δυο συστήματα αρίθμησης, το δεκαδικό και το εξηκονταδικό. Το δεκαδικό το χρησιμοποιούσαν στην καθημερινή ζωή, στις συναλλαγές, ενώ το εξηκονταδικό μόνο για αστρονομικούς υπολογισμούς.

Επίσης είχαν τρία είδη γραφής. Την ιερογλυφική, για επιγραφές σε σκληρές επιφάνειες (μνημεία και πινακίδες), την ιερατική, που τη χρησιμοποιούσαν σε μαλακές επιφάνειες (παπύρους και δέρματα) και ήταν μια εξελιγμένη μορφή της ιερογλυφικής, και τη δημοτική, που τη χρησιμοποιούσαν για τις καθημερινές τους ανάγκες από τον 7ο π.Χ. αιώνα και μετά. Για τη διπλωματική αλληλογραφία χρησιμοποιούσαν την ακκαδική γλώσσα γραμμένη με σφηνοειδή γραφή.

Ακκαδική γλώσσα ήταν η γλώσσα των Ακκάδων με τους οποίους ενώθηκαν οι Σουμέριοι το 1900 π.Χ. και απετέλεσαν την Πρώτη Βαβυλωνιακή Δυναστεία (1900 ? 1600 π.Χ.).

clip_image080

Σχ. 18. Αιγύπτιοι γραφείς προσηλωμένοι σε διάφορους υπολογισμούς (13ος π.Χ. αιώνας).

Γ) Μέτρα και σταθμά των αρχαίων Αιγυπτίων.

Από τον πάπυρο του Rhind συνάγεται ότι κατά την εποχή που γράφτηκε ο αρχικός πάπυρος στην Αίγυπτο χρησιμοποιούσαν τις παρακάτω μονάδες μέτρησης.

Μονάδες μήκους:

Ο πήχης ή βασιλικός πήχης, ίσος με 0,523 μέτρα (523 χιλιοστά του σημερινού μέτρου),

η παλάμη ίση με το 1/7 του πήχη,.

ο δάκτυλος ίσος με το 1/14 της παλάμης,

ο εκατόπηχης, για τις μετρήσεις των γηπέδων (για μεγάλα μήκη).

Μονάδες επιφάνειας:

Ο τετραγωνικός πήχης για μικρές επιφάνειες,

ο τετραγωνικός εκατόπηχης, για τις μεγάλες επιφάνειες (επιφάνειες γηπέδων).

Ο τετραγωνικός εκατόπηχης υποδιαιρούνταν σε μικρότερες μονάδες:

1/2, 1/4, 1/16, 1/32 οι οποίες είχαν ιδιαίτερα ονόματα.

Μονάδες όγκου.

Χρησιμοποιούσαν συνήθως:

Το 1/10 του κύβου που είχε πλευρά 0,741 μέτρα (741 χιλιοστά του μέτρου).

Ο κύβος αυτός υποδιαιρούνταν σε 320 μικρότερες μονάδες.

Μονάδες βάρους:

Για τη μέτρηση του βάρους δεν μας δίνει πληροφορίες ο πάπυρος του Rhind, από άλλες πηγές όμως μαθαίνουμε ότι έχουν διασωθεί γύρω στα 3400 διαφορετικά σταθμά των αρχαίων Αιγυπτίων.

Αιγυπτιακές μονάδες μέτρησης από άλλες πηγές.

Μονάδες μήκους:

Η κυριότερη μονάδα μήκους ήταν ο βασιλικός πήχης ίσος με 0,524 μέτρα,

ο δάκτυλος ίσος με 0,0187 μέτρα. Ένας βασιλικός πήχης είχε 28 δακτύλους,

η παλάμη ίση με 4 δακτύλους,

το χέρι πέντε δάκτυλοι,

η μικρή σπιθαμή 12 δάκτυλοι ή 3 παλάμες,

η μεγάλη σπιθαμή 14 παλάμες ή μισός βασιλικός πήχης.

το τσερ 16 δάκτυλοι ή 4 παλάμες,

ο μικρό πήχης 20 δάκτυλοι ή 5 παλάμες.

Μονάδες επιφάνειας:

Τα τετράγωνα με πλευρά τις παραπάνω μονάδες.

Μονάδες όγκου:

Οι κύβοι με πλευρά τις παραπάνω μονάδες.

Μονάδες μέτρησης των υγρών (από τις μικρότερες προς τις μεγαλύτερες):

Ο κυβικός πήχης ίσος με 0,14 κυβικά μέτρα.

Για τις υπόλοιπες μονάδες αναφέρουμε μόνο τα ονόματα τους.

Χαρ, χεκάτ, χιν, ρο.

Μονάδες βάρους:

Το κάϊτ κυμαινόταν μεταξύ 4,5 και 29,9 γραμμαρίων,

το ντέμπεν ίσο με 10 κάιτ,

το σέπ ίσο με 10 ντέμπεν.

4.3. Η Λογιστική των αρχαίων Ελλήνων.

Α) Το αριθμητικό σύστημα των αρχαίων Ελλήνων και η γραφή των αριθμών.

Το αριθμητικό σύστημα των αρχαίων Ελλήνων ήταν δεκαδικό.

Ο πιο απλός και πιο φυσικός τρόπος για να παραστήσουμε (γράψουμε) έναν αριθμό είναι να επαναλάβουμε ένα σύμβολο, που παριστάνει τη μονάδα, τόσες φορές όσες μονάδες έχει ο αριθμός. Αυτό το δίδαξε και ο Θαλής ο Μιλήσιος (624 ? 547 π.X., περίπου), ότι δηλαδή ο αριθμός δεν είναι τίποτε άλλο από μια συλλογή μονάδων. Η γραφή αυτή χρησιμοποιήθηκε από πολλούς λαούς της αρχαιότητας μεταξύ των οποίων και οι Έλληνες όπως προκύπτει από μια επιγραφή του 391 π.Χ. από την οποία μαθαίνουμε πως εκείνους τους χρόνους οι Έλληνες έκαναν χρήση αυτής της γραφής.

Είναι προφανές πως αυτή η μέθοδος γραφής των αριθμών μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για μικρούς αριθμούς. Για το λόγο αυτό την εγκατέλειψαν και χρησιμοποίησαν μια άλλη μέθοδο, την οποία συναντούμε στις αρχαιότερες ελληνικές επιγραφές και παρ? όλο που είναι πρωτόγονη έχει πιο επεξεργασμένη σημειογραφία (των αριθμών). Για τη γραφή των αριθμών, με την μέθοδο αυτή, χρησιμοποιούσαν τα γράμματα Π, Δ, Η, Χ, Μ, αρχικά των λέξεων ΠΕΝΤΕ, ΔΕΚΑ, ΗΕΚΑΤΟ, ΜΥΡΙΑ, για να παραστήσουν τους αριθμούς 5, 10, 100, 1000, 10.000 σύμφωνα με την παρακάτω αντιστοιχία.

Π Δ Η Χ Μ

5 10 100 1000 10.000

Σχ. 19. Τα σύμβολα γραφής των αριθμών σε πρωτόγονη γραφή.

Σημείωση.

Τότε η λέξη εκατό γραφόταν hεκατόν, γιατί το h(Η) χρησιμοποιούνταν για την παράσταση της δασείας, αργότερα αντικαταστάθηκε από τη δασεία( ? ) και το h(Η) χρησιμοποιήθηκε για την παράσταση του μακρόχρονου ε (Ε)

Επειδή τα γράμματα Π, Δ, Η, Χ, Μ, που χρησιμοποιούνται για την παράσταση των αριθμών, είναι ακραία (αρχικά) γράμματα λέξεων, το σύστημα γραφής λέγεται ακροφωνικό.

Για το 1 χρησιμοποιούσαν το σύμβολο clip_image081.

clip_image072[1]Για τους αριθμούς 50, 500, 5.000, 50.000 (πενταπλάσια των 10, 100, 1.000, 10.000)

χρησιμοποιούσαν τα: Δ, Η, Χ, Μ κάτω από το Π ή το clip_image082 π.χ. το 50=5?10 το γράφανε clip_image083.

Για να γράψουν τους άλλους αριθμούς παραθέτανε ή επαναλαμβάνανε τα κατάλληλα σύμβολα από αυτά μέχρι να σχηματιστεί προσθετικά ο αριθμός.

Π.χ. ο αριθμός 53.627 γράφεται: clip_image084

(50.000+ 3.000+600+ 20+7= 5?10.000+1000+1000+1000+5?100+100+10+10+5+1+1)

Σημείωση.

Το ακροφωνικό σύστημα γραφής, που περιγράψαμε, ονομάστηκε Ηρωδιανό από το όνομα του Έλληνα γραμματικού Ηρωδιανού (170-240 μ.Χ.), ο οποίος το περιέγραψε λεπτομερώς. Το σύστημα αυτό χρησιμοποιούνταν στην Αττική, γι? αυτό οι αριθμοί που ήταν γραμμένοι με αυτό το σύστημα λέγονται αττικοί αριθμοί.

clip_image086

1 5 10 100 500 1000 10.000

Σχ. 20. Τα σύμβολα του Ηρωδιανού συστήματος γραφής των Αριθμών 5ος π.Χ. αιώνας.

Όμως και το σύστημα αυτό κρίθηκε ανεπαρκές, γι? αυτό αργότερα, τον 3ο αιώνα π.Χ., στην ελληνιστική περίοδο, επί βασιλείας του Πτολεμαίου του Φιλάδελφου, καθιερώθηκε ένα άλλο σύστημα γραφής των ακεραίων αριθμών, το οποίο χρησιμοποιούσε τα 24 γράμματα του ιωνικού αλφαβήτου και τρία σύμβολα του φοινικικού, το δίγαμμα ή βαβ clip_image087 για το 6, το οποίο αργότερα πήρε τη μορφή clip_image088, το κόππα clip_image089 για το 90, και το σαμπί clip_image090 για το 900. Η παράσταση των αριθμών με τα γράμματα φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί..

clip_image091

Σχ.21. Τα σύμβολα παράστασης των αριθμών από τους αρχαίους Έλληνες.

Η γραφή των άλλων αριθμών γινόταν με παράθεση των κατάλληλων συμβόλων αρχίζοντας από τα αριστερά. Π.χ. ο αριθμός 103 γραφόταν ργ΄ και ο 1821 clip_image092.

Το σύστημα αυτό είναι δεκαδικό προσθετικό, λέγεται μιλήσιο και χρησιμοποιείται και σήμερα στη βιβλιογραφία, για την αρίθμηση τόμων, κεφαλαίων και παραγράφων, καθώς και στην αρίθμηση βασιλέων με κοινό όνομα.

clip_image093

Σχ. 22. Ο πάπυρος του Καΐρου. Περιέχει ένα παράδειγμα από σχολικό εγχειρίδιο του 3ου π.Χ. αιώνα. Στην πρώτη στήλη εμφανίζονται οι αριθμοί 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40 , ενώ στην τρίτη στήλη είναι τα τετράγωνά τους. Στην κορυφή της πρώτης στήλης φαίνεται το στίγμα (clip_image088[1] ) για το 6. Στην τρίτη στήλη το προτελευταίο γράμμα είναι το σαμπί για το 900, που τότε γραφόταν σαν Π με μια επιπλέον γραμμή στη μέσηclip_image094 .

Σημείωση.

Επειδή κατά τον 8ο μ.Χ αιώνα στα βυζαντινά γράμματα το σύμπλεγμα στ αντικαταστάθηκε με το γράμμα s, για λόγους συντομογραφίας, επικράτησε η ονομασία στίγμα για το s. Στη γραπτή αρίθμηση έγινε το αντίθετο, δηλαδή το s αντικαταστάθηκε με το στ. Έτσι γράφουμε π.χ. τάξη στ΄ (ή ΣΤ΄ ) αντί τάξη s΄ και Λουδοβίκος ΙΣΤ΄(16ος), αντί Λουδοβίκος ις΄.

Το σύμβολο clip_image089[1] (κόππα), που παριστά τον αριθμό 90, είναι τα γράμμα Q του φοινικικού αλφαβήτου και προφερόταν ως κ.

Το σύμβολοclip_image090[1] ονομάστηκε σαμπί το 17ο αιώνα μ.Χ. ίσως γιατί μοιάζει με Π (σαν πι ? σανπί ? σαμπί).

Β) Ο Λογισμός (οι πράξεις) στο αριθμητικό σύστημα των αρχαίων Ελλήνων.

Οι πράξεις πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός στις απλούστερες περιπτώσεις εκτελούνταν από μνήμης. Στις πιο πολύπλοκες περιπτώσεις χρησιμοποιούσαν (βοηθητικά) τα δάκτυλα τους, χαλίκια, πεσσούς και τέλος τον άβακα. Λέγεται μάλιστα πως τη χρήση του άβακα τη διέδωσε ο Πυθαγόρας στους Έλληνες .

Επίσης, για τον πολλαπλασιασμό των ακεραίων χρησιμοποιούσαν πίνακες πολλαπλασιασμού με τους οποίους εύρισκαν εύκολα γρήγορα και με ασφάλεια το αποτέλεσμα.

Για να πάρει μια ιδέα ο αναγνώστης των πινάκων αυτών παραθέτομε τον αντίστοιχο του πυθαγόρειου πίνακα της προπαίδειας (από 1?1 έως 10?10) με την αρχαία ελληνική γραφή των αριθμών, ο οποίος πάντως δεν λεγόταν τότε πυθαγόρειος.

* α΄=1 β΄=2 γ΄=3 δ΄=4 ε΄=5 s΄=6 ζ΄=7 η΄=8 θ΄=9 ι΄=10
α΄=1 α΄=1 β΄=2 γ΄=3 δ΄=4 ε΄=5 s΄=6 ζ΄=7 η΄=8 θ΄=9 ι΄=10
β΄=2 β΄=2 δ΄=4 s΄=6 η΄=8 ι΄=10 ιβ΄=12 ιδ΄=14 ιs΄=16 ιη΄=18 κ΄=20
γ΄=3 γ΄=3 s΄=6 θ΄=9 ιβ΄ ιε΄ ιη΄ κα΄ κδ΄ κζ΄ λ΄
δ΄=4 δ΄=4 η΄=8 Ιβ΄=12 ιs΄ κ΄ κδ΄=24 κη΄ λβ΄ λs΄ μ΄
ε΄=5 ε΄=5 ι΄=10 ιε΄=25 κ΄ κε΄ λ΄ λε΄ μ΄ με΄ ν΄
s΄=6 s΄=6 ιβ΄=12 ιη΄=18 κδ΄ λ΄ λs΄ μβ΄ μη΄=48 νδ΄=54 ξ΄
ζ΄=7 ζ΄=7 ιδ΄=14 κα΄=21 κη΄=28 λε΄=35 μβ΄ μθ΄=59 νs΄ ξγ΄ ο΄
η΄=8 η΄=8 ιs΄=16 κδ΄=24 λβ΄ μ΄ μη΄ νs΄ ξδ΄ οβ΄ π΄
θ΄=9 θ΄=9 ιη΄=18 κζ΄=27 λs΄ με΄ νδ΄ ξγ΄ οβ΄ πα΄ clip_image089[2]
ι΄=10 ι΄=9 κ΄=20 λ΄=30 μ΄=40 ν΄=50 ξ΄=60 ο΄=70 π΄=80 clip_image089[3]=90 ρ΄

Σχ. 23. Πολλαπλασιαστικός πίνακας στην αρχαία ελληνική γραφή.

Μια μέθοδος πολλαπλασιασμού την οποία χρησιμοποιούσαν στηρίζεται στους πυθμένες του συστήματος αρίθμησης. Πυθμένες του συστήματος αρίθμησης θεωρούσαν τα γράμματα από Α έως Θ του παραπάνω πίνακα. Τα υπόλοιπα γράμματα συνδέονταν με έναν πυθμένα. Ο τρόπος πολλαπλασιασμού με τους πυθμένες παρουσιάζει δυσκολίες και δεν κρίνεται σκόπιμο να περιγραφεί. Περιγραφή της μεθόδου αυτής γίνεται από το Δ. Ψυχογιό στο βιβλίο του «Οι Λέξεις και οι Αριθμοί»

Ο Νικόλαος Αρταβάσδος ή Ραβδάς (Κωνσταντινούπολη 1340 μ.Χ.) ασχολήθηκε με τα αριθμητικά συστήματα και τις τεχνικές αρίθμησης των αρχαίων Ελλήνων και σε δυο επιστολές του μας δίνει εξαντλητικές πληροφορίες σχετικά με τη χρήση των δακτύλων στην εκτέλεση των πράξεων.

Εκτός από τις επιστολές του Ραβδά έχουμε πληροφορίες και από τα σχόλια των Ευτοκίου Πάππου και του Θέωνος του Αλεξανδρέως και άλλων για τους τρόπους με τους οποίους οι αρχαίοι Έλληνες εκτελούσαν τους αριθμητικούς υπολογισμούς.

Έτσι μαθαίνουμε ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση εκτελούνταν στα αρχαία χρόνια με τρόπους καθ? όλα όμοιους με τους σημερινούς. Για τον πολλαπλασιασμό κατέφευγαν στη μέθοδο των διαδοχικών διπλασιασμών, που πρώτοι χρησιμοποίησαν οι Αιγύπτιοι. Ήδη έχουμε γράψει ότι στα ελληνικά σχολεία των πρώτων μεταχριστιανικών χρόνων η μέθοδος αυτή του πολλαπλασιασμού διδασκόταν ως Αιγυπτιακός λογισμός.

Τον 3ο αιώνα π.Χ., σύμφωνα με τους ιστορικούς και τους σχολιαστές, η Λογιστική των Ελλήνων δίδασκε τις 4 πράξεις της Αριθμητικής, την εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας των ακεραίων, πράξεις κλασμάτων και τη λύση κάποιων προβλημάτων .

Γ. Μέτρα και σταθμά των αρχαίων Ελλήνων.

Μονάδες μήκους:

Η βασική μονάδα μήκους ήταν ο πόδας, του οποίου το μήκος δεν ήταν σταθερό. Στην Αθήνα το μήκος του κυμαινόταν μεταξύ 0,3083 και 0,2970 (σημερινά) μέτρα.

Ένας πόδας διαιρούνταν σε 16 δακτύλους.

Από τον δάκτυλον παράγονταν πολλές άλλες μονάδες μήκους:

ο παλαιστής ή η παλαστή (η παλάμη του χεριού) ίση με 4 δακτύλους,

ο λιχάς 8 δάκτυλοι ή μισός πόδας,

το ορθόδωρον 11 δάκτυλοι,

η σπιθαμή 12 δάκτυλοι,

η πυγμή 18 δάκτυλοι,

η πυγών, η απόσταση από τον αγκώνα μέχρι του πρώτου αρμού των

δακτύλων, ίση με 20 δακτύλους.

ο πήχης 24 δάκτυλοι (ή 1,5 πόδες).

Άλλες μονάδες που παράγονταν από τον πόδα ήταν:

το απλό βήμα ίσο με 2,5 πόδες,

το διπλό βήμα 5 πόδες

η οργιά 6 πόδες,

το πλέθρο 100 πόδες και

το στάδιο 600 πόδες.

Το μήκος του σταδίου δεν ήταν το ίδιο σε όλες τις αρχαίες πόλεις, αφού εξαρτιόταν από τον πόδα που δεν ήταν παντού ο ίδιος. Έτσι το αττικό στάδιο ήταν 184,98 μέτρα (600?0,3083), το ολυμπιακό στάδιο (το στάδιο της αρχαίας Ολυμπίας) 192,27 μέτρα (600?0,3205), γιατί ο πόδας της Ολυμπίας ήταν 0,3205 μ. και το οδοιπορικό στάδιο 157,50 μέτρα.

Από το στάδιο παράγονταν οι μονάδες:

ο δίαυλος ίσος με δυο στάδια

το ιππικόν 4 στάδια,

ο δόλιχος 12 στάδια,

ο περσικός παρασάγγης 30 οδοιπορικά στάδια, γνωστός από τον Ξενοφώντα.

ο αιγυπτιακός σχοίνος 49 οδοιπορικά στάδια.

Μονάδες επιφάνειας.

Οι κυριότερες μονάδες επιφάνειας ήταν:

Το τετραγωνικό πλέθρο, τετράγωνο με πλευρά ένα πλέθρο,

η άρουρα ίση με το 1/4 του τετρ. πλέθρου και

ο έκτος ίσος με το 1/6 του τετρ. πλέθρου.

Μονάδες όγκου.

Για τη μέτρηση του όγκου (στις ελληνικές πόλεις κράτη) χρησιμοποιήθηκαν οι μονάδες μέτρησης των Αθηναίων, που περιλάμβαναν μονάδες για τα στερεά και τα υγρά.

Για τον όγκο βασική μονάδα ήταν ο κύαθος ίσος με 0,046 λίτρα και για τα στερεά και για τα υγρά. Από τον κύαθο παράγονταν διάφορες μονάδες, που ήταν όμως άλλες για τα στερεά και άλλες για τα υγρά.

Μονάδες όγκου για τα στερεά (που παράγονταν από τον κύαθο) :

η κοτύλη 6 κύαθοι,

ο ξέστης 3 κοτύλες,

ο χοίνικας 2 ξέστες,

το ημίεκτον 4 χοίνικες,

ο εκτεύς 8 χοίνικες και ο

μέδιμνος 6 εκτείς ή 1728 κύαθοι.

Μονάδες όγκου για τα υγρά (που παράγονταν από τον κύαθο):

το οξύβαφον 1,5 κύαθοι,

το ημικότυλον 2 οξύβαφα,

η κοτύλη 2 ημικότυλα,

ο ξέστης 2 κοτύλες,

ο χους 16 ξέστες,

ο μετρητής 12 χόες (39,4 λίτρα)

Σημείωση.

Ο Σόλων, στη νομοθεσία του, προκειμένου να κατατάξει τους Αθηναίους πολίτες σε κοινωνικές τάξεις, υπολόγισε το ετήσιο αγροτικό τους εισόδημα χρησιμοποιώντας τον μέδιμνο. Έπειτα, με βάση τον αριθμό των μεδίμνων της ετήσιας παραγωγής, τους κατέταξε στις παρακάτω τάξεις :

Πεντακοσιομέδιμνοι. Οι παραγωγοί 500 μεδίμνων αγροτικού εισοδήματος ετησίως. Τριακοσιομέδιμνοι ή ιππείς. Οι παραγωγοί 300 μεδίμνων αγροτικού εισοδήματος ετησίως, που μπορούσαν να εκτρέφουν άλογα.

Διακοσιομέδιμνοι ή ζευγίτες.Οι παραγωγοί 200 μεδίμνων ετησίως. Τελευταία τάξη ήταν οι

Θήτες. Αυτοί που είχαν ετήσιο εισόδημα λιγότερο από 200 μεδίμνους.

Μονάδες βάρους.

Μια από τις αρχαιότερες μονάδες βάρους ήταν η δραχμή ή δραγμή, η οποία αποτελούνταν από 6 σιδηρές σούβλες (μια δέσμη ή ένα δράγμα ή μια δραγμή, απ? όπου και το όνομά της), που τις λέγανε οβελούς ή οβολούς και ήταν συγχρόνως ζυγιστική και νομισματική μονάδα. Από τη λέξη αυτή παράγεται και η λέξη οβελίας, για το αρνί που ψήνεται στον οβελό ή οβολό δηλαδή στη σούβλα..

Αργότερα, στις αρχές του 7ου π.Χ. αιώνα, ο βασιλιάς της Αίγινας Φείδων έκοψε αργυρό νόμισμα σε κέρμα, το πρώτο στην Ευρώπη, και αφιέρωσε στο Ηραίο του Άργους δέσμη 6 οβολών (μια δραχμή) δηλώνοντας με τη συμβολική αυτή αφιέρωση ότι του λοιπού οι αυτούσιοι αυτοί οβελοί αφιερώνονται στη θεά, δηλαδή αποσύρονται από την κυκλοφορία. Το νέο μεταλλικό νόμισμα, ενώ δεν είχε καμιά σχέση με τη δέσμη από μεταλλικές σούβλες, διατήρησε το όνομα δραχμή ως νόμισμα.

Το τάλαντο.

clip_image095

Σχ. 24. Η αρχική δραχμή αποτελούνταν από 6 σιδηρές ή χάλκινες σούβλες που τις λέγανε οβολούς ή οβελούς και ήταν συγχρόνως ζυγιστική και νομισματική μονάδα.

clip_image096

Σχ. 25. Σιδηροί οβολοί ως νομισματα..

clip_image097

Σχ. 26. Μεταλλικό κέρμα που κόπηκε από το βασιλιά της Αίγινας Φείδωνα και αντικατέστησε το νόμισμα από σιδηρές σούβλες..

Σημείωση.

Ο πόδας, που χρησιμοποιούνταν ως μονάδα μήκους κατά την αρχαιότητα από διάφορα κράτη και πολιτισμούς, ισοδυναμούσε, όπως εγράψαμε στην παράγραφο που αναφέρεται στις μονάδες μέτρησης των Βαβυλωνίων, με το μήκος πέλματος ενήλικου άνδρα. Στην επιλογή αυτή οφείλει την ονομασία του και αυτός θα πρέπει να ήταν ο λόγος που δεν είχε σταθερό μήκος.

Σχόλιο.

Από τα διαφορετικά μήκη του πόδα ίσως μπορούμε να βγάλομε συμπεράσματα για το ύψος των ανδρών στους λαούς που τον χρησιμοποιούσαν ως μονάδα μήκους.

4.4. Η λογιστική των Μινωιτών.

Η Κρήτη κατά τη μινωική περίοδο (2800 ? 1500 π.Χ.) ήταν μεγάλη ναυτική δύναμη, απλωνόταν σε όλο το Αιγαίο, αλλά και πέρα από αυτό. Ο μινωικός πολιτισμός αναπτύχθηκε συγχρόνως με τους πολιτισμούς της Αιγύπτου και της Μεσοποταμίας και ήταν εφάμιλλος με αυτούς. Οι Μινωίτες είχαν εμπορικές συναλλαγές με πολλές πόλεις, του ελλαδικού χώρου, την Κύπρο, την Αίγυπτο και την Ανατολή. Το εμπόριο είχε σαν αποτέλεσμα την οικονομική ευμάρεια και τη συσσώρευση πλούτου στο νησί. Οι ανάγκες του εμπορίου καθώς και οι ανάγκες καταμέτρησης των συσσωρευμένων αγαθών τούς οδήγησαν να κατασκευάσουν (ή να δανειστούν από τους Αιγυπτίους) ένα πιο εξελιγμένο αριθμητικό σύστημα. Το αριθμητικό σύστημα των Μινωιτών ήταν δεκαδικό και φαίνεται να είχε τη βάση του στα δέκα δάχτυλα των χεριών, όπως άλλωστε συνέβαινε και με τα περισσότερα αριθμητικά συστήματα της αρχαιότητας. Οι Μινωίτες, στην πρώτη τους γραφή, που ήταν ιερογλυφική, παρίσταναν τις μονάδες με κατακόρυφες ή με ελαφρά κάμψη γραμμές, τις δεκάδες με κουκίδες, τις εκατοντάδες με λοξές γραμμές και τις χιλιάδες με ρόμβους. Με το σύμβολο Vclip_image037[1]παρίσταναν κάποιο κλάσμα ίσως το 1/4 .

1 10 100 1000

clip_image098

Σχ. 27. Τα βασικά σύμβολα που χρησιμοποιούσαν οι Μινωίτες για την παράσταση των αριθμών στην ιερογλυφική γραφή, πριν από τη Γραμμική Α γραφή.

Στη μετέπειτα γραφή τους, τη Γραμμική Α, που εμφανίστηκε γύρω στο 1600 π.Χ., εξακολούθησαν να χρησιμοποιούν το ίδιο δεκαδικό σύστημα αλλά τα σύμβολα παράστασης των αριθμών άλλαξαν όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα. Για τη μονάδα χρησιμοποιούσαν μόνο την κατακόρυφη γραμμή. Η κουκίδα, που παρίστανε το 10, και φαίνεται σε μερικές από τις παλιότερες πινακίδες (βλ. σχ.31) αντικαταστάθηκε γρήγορα από μια οριζόντια γραμμή.

1 10 100 1000

clip_image099

Σχ. 28. Τα βασικά σύμβολα των Μινωιτών για την παράσταση των αριθμών στη Γραμμική Α.

Στη γραφή αυτή χρησιμοποιούσαν το clip_image100 για να παραστήσουν το 1/2 ή το 1/4..

clip_image101

Σχ. 29. Πινακίδα της Κνωσού.

Διόρθωση σφάλματος στο δημοσίευμα « Η λογιστική στην καθημερινή ζωή των αρχαίων».

Στο φύλλο της 3/3/2005, στη σελίδα 18 , κάτω από το σχήμα 29 έχει γραφεί:

«Στα δεξιά της πινακίδας αυτής διαβάζουμε ξίφη 7.» αντί του ορθού που είναι: «ξίφη 50.»

Αναφέρει??ξίφη 50. Η παράσταση αριστερά του ξίφους δεν έχει διαβαστεί, πιθανόν να είναι το όνομα του ιδιοκτήτη.

Α. Το αριθμητικό σύστημα των Μινωιτών της Γραμμικής Β γραφής.

Το 15ο π.Χ. αιώνα, που εμφανίστηκε στην Κρήτη η Γραμμική Β γραφή, το αριθμητικό σύστημα των Μινωιτών ήταν πάλι δεκαδικό προσθετικό πιο εξελιγμένο. Τα βασικά σύμβολα που χρησιμοποιούσε για τη γραφή των φυσικών αριθμών ήταν ο κύκλος, η γραμμή (μικρό ευθύγραμμο τμήμα) και ορισμένα συμπλέγματά τους..

Την μονάδα την παρίσταναν με μια κατακόρυφη γραμμή, τη δεκάδα με μια οριζόντια γραμμή, την εκατοντάδα με έναν κύκλο, τη χιλιάδα με έναν κύκλο με 4 ακτίνες, τη μυριάδα (το 10.000) με έναν κύκλο με 4 ακτίνες και μέσα μια οριζόντια γραμμή (σαν παύλα).

Τέλος, πρέπει να αναφερθεί ότι το σύστημα αυτό των Μινωιτών ότι οι αριθμοί γράφονταν από αριστερά προς τα δεξιά, όπως τους γράφουμε και εμείς σήμερα.

clip_image103

Σχ. 30. Τα σύμβολα του συστήματος αρίθμησης των Μινωιτών στη γραμμική Β..

Παράδειγμα:

clip_image105

Οι Μινωίτες δεν είχαν σύμβολο για το μηδέν. Σε ορισμένες λογιστικές πινακίδες υπάρχει το σύμβολο x, για το οποίο αρχικά πιστευόταν πως παρίστανε το μηδέν, τελικά όμως αποδείχτηκε ότι ήταν σύμβολο ελέγχου (τσεκαρίσματος). Και ενώ δεν είχαν σύμβολο για να παραστήσουν το μηδέν χρησιμοποιούσαν τη λέξη ουδέν, όπως και οι αρχαίοι Έλληνες για να δηλώσουν τη σημασία του.

Β. Ο λογισμός (οι πράξεις) στο αριθμητικό σύστημα των Μινωιτών.

Δεν βρήκα στοιχεία που να αναφέρονται στο λογισμό (στις πράξεις ) των Μινωιτών. Μόνο στο βιβλίο του Άγγλου R. W. Hutchinson με τίτλο Prehistoric Crete αναφέρεται ότι «Η πρόσθεση και η αφαίρεση ήταν εύκολο γεγονός για τους Μινωίτες, ενώ ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση πάρα πολύ δύσκολο, όπως συνέβαινε και στους Ρωμαίους».

Επειδή όμως το αριθμητικό τους σύστημα παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον τόσο γιατί ήταν δεκαδικό προσθετικό, όσο και για τη λιτότητα των συμβόλων που χρησιμοποιούσε για την παράσταση και τον τρόπο γραφής των αριθμών, θα διακινδυνεύσω μια εικασία.

Εικασία.

Το είδος του συστήματος (δεκαδικό προσθετικό) και ο τρόπος γραφής των αριθμών μάς οδηγούν στη σκέψη πως οι Μινωίτες έκαναν την πρόσθεση και την αφαίρεση όπως τις κάνομε και εμείς σήμερα, δηλαδή μετρούσαν τις μονάδες κάθε τάξης και όταν συμπλήρωναν 10 τις αντικαθιστούσαν με μια μονάδα της επόμενης τάξης. Το πρόβλημα είναι πώς έκαναν τον πολλαπλασιασμό. Ένας τρόπος θα ήταν να έχουν έτοιμους πολλαπλασιαστικούς πίνακες (προπαίδεια) χαραγμένους σε πινακίδες, όπως έκαναν οι σύγχρονοί τους Βαβυλώνιοι και Αιγύπτιοι.

Ξέρουμε ότι οι Μινωίτες είχαν εμπορικές σχέσεις με τους Αιγυπτίους και ότι οι εμπορικές συναλλαγές απαιτούν λογαριασμούς με πολλαπλασιασμούς. Είναι λοιπόν πιθανό να αντέγραψαν και να χρησιμοποιούσαν τη μέθοδο των διπλασιασμών των αρχαίων Αιγυπτίων. Μπορεί ακόμη να είχαν κάποια δική τους μέθοδο για τον πολλαπλασιασμό, η οποία δεν διασώθηκε.

clip_image106clip_image107clip_image072[2]Οι λογιστικές πινακίδες των Μινωιτών.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν μικρές ορθογώνιες πήλινες πινακίδες που βρέθηκαν σε ανασκαφές σε ανάκτορα της Μινωικής Κρήτης (Αγίας Τριάδας, Ζάκρου και αλλού), με χαραγμένες επιγραφές στη Γραμμική Α γραφή. Παρ? όλο που η γραφή αυτή δεν έχει αποκρυπτογραφηθεί είναι σχεδόν βέβαιο πως αποτελούσαν πρόχειρες λογιστικές καταγραφές σε πλάκες από ωμό πηλό, που μετά τις ξέραιναν στον ήλιο, και, ίσως, αργότερα τις αντέγραφαν με άλλα υλικά γραφής. Οι πλάκες αυτές διατηρήθηκαν από τύχη, γιατί οι πυρκαγιές που κατέστρεψαν τα ανάκτορα αντί να τις καταστρέψουν, όπως άλλα αντικείμενα, τις έψησαν με αποτέλεσμα να γίνουν πιο ανθεκτικές και να διατηρηθούν μέχρι σήμερα.

clip_image108clip_image055[1]Τον 15ο αιώνα π.Χ. εμφανίζεται στην Κρήτη μια άλλη γραμμική γραφή που πήρε το όνομα Γραμμική Β. Η γραφή αυτή αποκρυπτογραφήθηκε το 1952 από τον Άγγλο ερευνητή Μ. Ventris και τον John Chadwick.

Πινακίδες της Γραμμικής Β γραφής, που βρέθηκαν σε ανασκαφές, περιέχουν καταγραφές διαφόρων ειδών που προσδιορίζονται με ιδεογράμματα (δηλαδή σύμβολα που απεικονίζουν τα αντικείμενα για τα οποία γίνεται λόγος) και αριθμούς. Σ? αυτές αναγράφονται ομάδες ανδρών και γυναικών, που χαρακτηρίζονται δούλοι (βλέπε πιο κάτω πινακίδα της Πύλου), κοπάδια ζώων, δημητριακά, αγγεία και σκεύη, άρματα, όπλα, κράνη κ.ά., και όλα αυτά ανήκουν στη βασιλική περιουσία.

Οι πινακίδες αυτές της Γραμμικής Α και της Γραμμικής Β βρίσκονται στο Μουσείο του Ηρακλείου (προθήκη 69).

Μεταγραφή (μετάφραση).

clip_image110

Χωριό του KA-U-DE-ΤΑ.

Παρδοθέν κρασί RE-ZA: 5 μέτρα ½.

TE-TU: 56. TE-KI: 28 ½..

KU-DO-NI : 16 ½.

DA-NE(;)-TA( ;) : 19NO-SO-

YO-NE : 5 μέτρα.

Σύνολο: 130 μέτρα ½.

Σχ. 31. Λογιστική πινακίδα από το ανάκτορο της Αγίας Τριάδας (γύρω στο 1450 π.Χ.). . Από το βιβλίο του Paul Faure: «Η καθημερινή ζωή στην Κρήτη τη Μινωική εποχή» ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΗΜΑ

Όπως βλέπομε στην πινακίδα αυτή γίνεται χρήση της κουκίδας για την παράσταση του 10.

clip_image111

Σχ. 32. Πήλινη πινακίδα με Γραμμική Β (από την Κνωσό).

Στην εικόνα υπάρχουν ιδεογράμματα: άρματος clip_image113, αλόγου clip_image115 , ξίφους clip_image116 κ.ά.

Σημείωση 1.

Η γραμμική γραφή Β στηρίζεται στην ανάμιξη ιδεογραμμάτων (δηλαδή συμβόλων που απεικονίζουν αντικείμενα για τα οποία γίνεται λόγος ) με αριθμούς.

Σημείωση 2.

Η γραμμική Α εμφανίστηκε περίπου το 1600 π.Χ. και οι πινακίδες αυτές αποτελούν μέρος των ανακτορικών οικονομικών αρχείων. Στις πινακίδες αυτές υπάρχει δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και κλάσματα. Παρ? όλο που η γραφή αυτή δεν έχει αποκρυπτογραφηθεί τα αριθμητικά σύμβολα αναγνωρίζονται εύκολα.

clip_image117

Σχ. 33. Πήλινη πινακίδα με Γραμμική Α γραφή από την Αγία Τριάδα Μεσαράς. Εύκολα αναγνωρίζονται αριθμητικά σύμβολα.

Ιδεόγραμμα Αριθμοί

clip_image118

Ομάδες συλλαβικών συμβόλων.

Σχ.34. Πινακίδα της Πύλου.

Μπορούμε να διαβάσουμε εύκολα τη φράση: δούλες 7.

clip_image119clip_image120

Πινακίδα από την Αγία Τριάδα Μεσαράς . Πινακίδα από την Πύλο.

Το τελευταίο ιδεόγραμμα είναι του κριού και στις Στη δεύτερη και στην τρίτη γραμμή

δύο γραμμές, ακολουθούν οι αριθμοί 3 και 24. διακρίνονται οι αριθμοί 18 και 38.

(ερμηνεύεται: Κώκαλος απέδωκεν έλαιον Ευμήδει ?.18)

clip_image121

Πινακίδα από την Κνωσό. . Πινακίδα από τις Μυκήνες.

Σχ. 35. Πινακίδες με συλλαβικά σύμβολα, ιδεογράμματα και αριθμούς..

Γ. Μονάδες μέτρησης των Μινωιτών.

Οι μετρήσεις του χώρου (μήκη, επιφάνειες, όγκοι) από τους Μινωίτες φαίνεται να περιορίζονταν σ? αυτές που ήταν απαραίτητες στις οικοδομές και στις ξυλουργικές κατασκευές. Σε αρχαιολογικά ευρήματα των Μινωιτών, όπως για παράδειγμα σε ανάκτορα, υπάρχουν αναλογίες και κανονικότητες που συνηγορούν στη χρήση μονάδων μέτρησης του χώρου οι οποίες δεν διασώθηκαν. Είναι βέβαιο ότι οι μονάδες αυτές είχαν σχέση με κάποιο από τα μέλη του ανθρώπινου σώματος, π.χ. με το χέρι και να ήταν η πιθαμή, η παλάμη, ο πήχης, η οργιά, ή με το πόδι και να ήταν ο πόδας, το βήμα κλπ. Ο αείμνηστος φιλόλογος καθηγητής Μύρων Χατζηζαχαράκης από την Πόμπια, επιμελητής αρχαιοτήτων Μεσαράς, έκαμε κάποιες μετρήσεις στο ανάκτορο της Φαιστού. Μέτρησε τοίχους, διαδρόμους, δάπεδα, σκάλες, αποθηκευτικούς χώρους κ.ά. και κατέληξε σε δυο πιθανά μέτρα, τον πόδα 0,27 μέτρα (που είναι το συνηθισμένο μήκος κανονικού πέλματος) και τον πήχη 0,68 μέτρα.

Ο Τζ. Ουώλτερ Γκράχαμ ύστερα από ακριβείς μετρήσεις που έκαμε στα τέσσερα μεγάλα ιερά της Φαιστού, της Κνωσού, των Μαλίων και της Ζάκρου κατέληξε στο συμπέρασμα ότι στην κατασκευή τους χρησιμοποιήθηκε μια μονάδα μήκους ίση με 30 εκατοστά περίπου, την οποία ονόμασε ιερό πόδα.

Για τις μετρήσεις των γεωργικών προϊόντων φαίνεται να χρησιμοποιούσαν ογκομετρικά δοχεία, που θα πρέπει να ήταν άλλα για τα στερεά και άλλα για τα υγρά.

Ο Άγγλος αρχαιολόγος R. W. Hutchinson στο βιβλίο του με τίτλο Prehistoric Crete γράφει:

Στη γραμμική Α γραφή υπάρχει ένα απλό σύστημα κλασμάτων για όλα τα μέτρα (μονάδες μέτρησης) που αφορούν τα στέρεα και τα υγρά, ενώ η γραμμική Β έχει ένα διαφορετικό σύστημα κλασμάτων για καθένα από τα μέτρα, και (σε κάθε σύστημα) κάθε κλάσμα είναι πολλαπλάσιο του αμέσως επόμενου μικρότερου κλάσματος.

Από μια περιγραφή που κάνει σχετικά με τα μέσα (μονάδες) που θα χρησιμοποιούσαν και τη διαδικασία που θα ακολουθούσαν δύο γραφείς ? αποθηκάριοι, ένας της γραμμικής Α γραφής και ένας της γραμμικής Β, για να μετρήσουν μια συγκεκριμένη ποσότητα σταριού, μπορούμε να βγάλουμε κάποια συμπεράσματα για τα σύστημα των κλασμάτων που αναφέρει.

Η ποσότητα του σταριού που ήθελαν να μετρήσουν ήταν 6 και 4/5 μονάδες.

Γράφει :

Ο γραφέας ? αποθηκάριος της γραμμικής Α για να μετρήσει την ποσότητα αυτή θα γέμιζε 6 φορές το δοχείο της μιας μονάδας μετά ένα δοχείο της μισής μονάδας μετά ένα του ενός τετάρτου και μετά ένα του ενός εικοστού (1/2+1/4+1/20 = 16/20 = 4/5).

Ο γραφέας ? αποθηκάριος της γραμμικής Β θα γέμιζε 6 φορές το δοχείο της μιας μονάδας και οκτώ φορές το δοχείο του ενός δεκάτου (8/10 = 4/5).

Από την περιγραφή αυτή συμπεραίνουμε ότι οι υποδιαιρέσεις της βασικής μονάδας μέτρησης που χρησιμοποίησε ο γραφέας της γραμμικής Β ήταν σε δέκατα (και ίσως σε εκατοστά) ενώ η υποδιαίρεση της μονάδας που χρησιμοποίησε ο γραφέας της γραμμικής Α ήταν σε δεύτερα , τέταρτα, εικοστά. Είναι προφανές ότι υποδιαίρεση της μονάδας που χρησιμοποίησε ο γραφέας της γραμμικής Β ήταν πιο απλή, αλλά και η διαδικασία μέτρησης που εφάρμοσε ήταν απλούστερη.

Μια μονάδα βάρους των Μινωιτών ήταν το τάλαντο. Πρόκειται για πλάκες μετάλλου του ίδιου πάντοτε σχήματος που χρησιμοποιήθηκαν ως μέσο συναλλαγής στα Νεοανακτορικά χρόνια της Κρήτης (1700 ? 1450 π.Χ.), που αποτελεί την πιο λαμπρή περίοδο της Κρήτης. Αργότερα, κατά τη Δωρική περίοδο, ως μονάδα βάρους χρησιμοποιήθηκε ο στατήρας. Παρ? όλο που το εμπόριο των Μινωιτών πρέπει να ήταν κυρίως ανταλλακτικό, ο υψηλός πολιτισμός τους και η επικοινωνία τους μέσω οικονομικών συναλλαγών με χώρες που είχαν μονάδες βάρους, όπως για παράδειγμα η Αίγυπτος, μας επιτρέπουν να συμπεράνομε πως οι Μινωίτες χρησιμοποιούσαν και άλλες μονάδες βάρους.

Στο Μουσείο Ηρακλείου υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός από τάλαντα που βρέθηκαν σε ανασκαφές στην Αγία Τριάδα. Τα τάλαντα αυτά, όπως και αυτά που έχουν βρεθεί σε άλλα μέρη του Αιγαίου ζυγίζουν περίπου 40 κιλά. Πάνω τους έχουν χαραγμένα σημεία ελέγχου σε Κρητική και Κυπριακή γραφή. Το σχήμα των ταλάντων είναι ορθογώνιο με κοίλες πλευρές και εμφανίζεται ως ιδεόγραμμα clip_image123 της Γραμμικής Β γραφής. Τέτοια τάλαντα έχουν βρεθεί, εκτός από την μινωική Κρήτη και στην μυκηναϊκή Ελλάδα στην Κύπρο και αλλού (1500 ? 1200 π.Χ.). Σε τοιχογραφίες της Αιγύπτου απεικονίζονται Κρήτες (Κεφτιού) να μεταφέρουν στους ώμους τους παρόμοια τάλαντα. Στην Κάτω Ζάκρο, που πιθανό να αποτελούσε το εξαγωγικό λιμάνι της μινωικής Κρήτης προς την ανατολή, βρέθηκαν κυπριακά χάλκινα τάλαντα.

clip_image125 clip_image126

Σχ. 36. Χάλκινο τάλαντο. Σχ. 37. Χάλκινο μυκηναϊκό τάλαντο

(Αρχαιολογικό Μουσείο Λευκωσίας). (16ος ? 14ος π.Χ. αιώνας).

4.5. Η λογιστική των Ρωμαίων.

Λίγα ιστορικά στοιχεία για τους Ρωμαίους.

Οι Λατίνοι, από τους οποίους κατάγονται οι Ρωμαίοι, φαίνεται πως ήταν από τους αρχαιότερους λαούς που έφθασαν στην ιταλική χερσόνησο και εγκαταστάθηκαν σε μια μικρή περιοχή του ποταμού Τίβερη, το Λάτιο, κατά τους προϊστορικούς χρόνους. Η ιστορία τους, δηλαδή η ιστορία των Ρωμαίων, αρχίζει από τον 8ο π.Χ. αιώνα, τότε που οι Λατίνοι οργανώθηκαν σε μικρά χωριά, τα οποία αργότερα εξελίχθηκαν σε πόλεις. Από τις πόλεις αυτές γρήγορα ξεχώρισε η Ρώμη και επιβλήθηκε στις υπόλοιπες. Οι πόλεις αυτές του Λατίου αρχικά οργανώθηκαν σε ομοσπονδία με αμυντικό χαρακτήρα. Στη συνέχεια οργανώθηκαν στρατιωτικά, κατέκτησαν ολόκληρη την Ιταλία, απέκτησαν ενιαία οντότητα με το όνομα ρωμαϊκό κράτος, το οποίο εξελίχθηκε στη μεγαλύτερη, ίσως, στρατιωτική δύναμη όλων των εποχών, στην οποία κανείς λαός δεν μπορούσε να αντισταθεί για πολλούς αιώνες.

Οι ρωμαίοι είχαν ικανότητες να εξουσιάζουν, να κυβερνούν και να νομοθετούν, αλλά δεν είχαν το χάρισμα της καλλιτεχνικής δημιουργίας, της επιστημονικής έρευνας και της φιλοσοφικής σκέψης.

Ο Κικέρων (106-43 π.Χ.), κορυφαία πνευματική προσωπικότητα των Ρωμαίων, έγραφε:

Οι Έλληνες απέδιδαν υψίστη τιμή εις την γεωμετρία και θεωρούσαν ότι δεν υπάρχει τίποτε ευγενέστερο από τα μαθηματικά. Εμείς όμως περιορίσαμε το μέτρο της αξίας της επιστήμης αυτής σε πρακτικούς υπολογισμούς και καταμετρήσεις.

Α. Το αριθμητικό σύστημα των Ρωμαίων.

Αρχικά οι Ρωμαίοι, για να παραστήσουν έναν αριθμό, επαναλάμβαναν πολλές φορές το ίδιο σημάδι (σύμβολο). Αυτός ήταν ένα πρωτόγονος τρόπος γραφής των αριθμών, τον οποίο είχαν χρησιμοποιήσει και άλλοι λαοί στην αρχαιότητα..

Ως παράδειγμα για τον τρόπο αυτό μέτρησης από τους Ρωμαίους αναφέρομε το ακόλουθο περιστατικό, που αποτελούσε ένα είδος εθίμου των κατοίκων της Ρώμης:

Στον Καπιτώλιο λόφο υπήρχε ένας ναός αφιερωμένος στο Δία, την Ήρα και την Αθηνά. Από το 509 π.Χ. άρχισαν να τοποθετούν με τελετουργικό τρόπο στον σηκό (του ναού) της Αθηνάς ένα καρφί, που το λέγανε «clavis annalis», για να το έχει ο λαός ως χρονολογικό δείκτη (για να μετρούν τα χρόνια).

Αυτή η παράσταση των αριθμών ήταν δύσχρηστη και ανεπαρκής για να εξυπηρετήσει τις ολοένα αυξανόμενες ανάγκες του ρωμαϊκού κράτους και του λαού, γι? αυτό αντικαταστάθηκε με ένα άλλο σύστημα αρίθμησης, δεκαδικό.

Για τη γραφή των αριθμών στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούσαν επτά σύμβολα, γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί, και δυο κανόνες :

clip_image021[1]clip_image072[3] Ι V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Σχ, 38. Τα σύμβολα γραφής των αριθμών του ρωμαϊκού αριθμητικού συστήματος..

1ος κανόνας.

Όταν στη γραφή ενός αριθμού από τα αριστερά προς τα δεξιά εμφανίζονται διαδοχικά ψηφία (σύμβολα) που η αξία τους δεν αυξάνει, τότε τα ψηφία αυτά προστίθενται.

Π.χ. ΙΙΙ = 3, VII = 7, CCLΧV = 265.

Για να μην είναι πολύ μεγάλες οι παραστάσεις των αριθμών με τις διαδοχικές παραθέσεις ψηφίων χρησιμοποίησαν στη γραφή και την αφαίρεση και συμπλήρωναν τον πρώτο κανόνα με την παραδοχή:.

Αν στην παράσταση ενός αριθμού με δυο διαδοχικά ψηφία το πρώτο έχει μικρότερη αξία από το δεύτερο, τότε αυτό αφαιρείται από το δεύτερο.

Π.χ. γράφουμε ΙV = 5-1=4, αντί IIII., IX=10-1=9 αντί VIIII .

2ος κανόνας.

Κάθε παύλα πάνω από ένα σύμβολο σημαίνει πολλαπλασιασμό με το 1000:

clip_image128

σχ. 39 . Η παύλα πάνω από το γράμμα σύμβολο σημαίνει πολλαπλασιασμό επί 1000.

Πληροφορίες για τα αριθμητικά σύμβολα των Ρωμαίων μάς δίνουν ένας μεγάλος αριθμός πινακίδων και επιγραφών, αλλά και χειρόγραφα που περιέχουν τα πρώτα μαθήματα πρακτικής αριθμητικής στη Λατινική γλώσσα. Μερικές αρχαίες επιγραφές μάς πληροφορούν ότι αρχικά υπήρχαν άλλα σύμβολα που προέρχονταν, ίσως, από επιγραφές των Ετρούσκων, λαού γειτονικού των Λατίνων, που για ένα διάστημα τον 7ο π.Χ. αιώνα εξουσίαζαν τη Ρώμη, τα οποία εξομοιώθηκαν με τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου..

clip_image130

1 2 3 4 5 6 10 100 1000

Σχ.40. Ετρουσκική γραφή των αριθμών.

Οι Ρωμαίοι δεν αντιλήφθηκαν την αξία του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης για να δημιουργήσουν δεκαδικά κλάσματα και χρησιμοποίησαν κλάσματα με παρονομαστή το 12 και τα πολλαπλάσιά του, επειδή οι μετρικές τους μονάδες διαιρούνταν σε 12, 144, 288 ίσα μέρη, οπότε στις συναλλαγές τους παρουσιάζονταν τα μέρη των μετρικών μονάδων ως δωδέκατα κ.λπ. Για παράδειγμα το ρωμαϊκό ας είναι το 1/12 της ουγκιάς.

Β. Ο λογισμός (οι πράξεις) στο αριθμητικό σύστημα των Ρωμαίων.

Πράξεις.

Τις πράξεις πρόσθεση και αφαίρεση τις έκαναν σχεδόν με την ίδια ευκολία που τις κάνομε κι? εμείς σήμερα.

Για την πρόσθεση γράφανε τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο και προσθέτανε τις μονάδες των διαφόρων τάξεων από κάτω προς τα πάνω (ανάποδα απ? ότι την κάνουμε εμείς) και το άθροισμα το γράφανε στην κορυφή και το λέγανε σούμα, που σημαίνει το ποσό στην ανώτατη θέση. Η λέξη σούμα (summa) παράγεται από το λατινικό super ? superior ? supremus ή summus. Η λέξη σούμα εξελληνίσθηκε και σήμερα τη χρησιμοποιούμε είτε για να δηλώσουμε την πράξη της πρόσθεσης, π.χ. λέμε κάμε σούμα, αντί κάμε πρόσθεση είτε για το αποτέλεσμα της πρόσθεσης, το άθροισμα

Για τον πολλαπλασιασμό των ακεραίων χρησιμοποιούσαν πίνακες. Επειδή όμως χρησιμοποιούσαν και Άβακες διαφόρων τύπων, τη χρήση των οποίων διδάχθηκαν από άλλους λαούς, πιστεύω ότι θα τους χρησιμοποιούσαν και στην εκτέλεση πολλαπλασιασμών.

Για τις πράξεις μεταξύ ακεραίων και δωδεκαδικών κλασμάτων κατέφευγαν συνήθως σε έτοιμους πίνακες υπολογισμών, οι οποίοι, όπως αναφέρεται στην ιστορία του Loria, θα πρέπει να κυκλοφορούσαν σε ευρεία κλίμακα μεταξύ των εφοριακών και άλλων συναφών υπάλληλων του ρωμαϊκού κράτους. Και παρ? όλο που δεν διασώθηκε κανείς πίνακας γραμμένος από Λατίνο, παίρνουμε κάποια ιδέα του περιεχομένου των από πίνακες που συντάχθηκαν πολύ αργότερα, γύρω στο 457 μ.Χ., από κάποιον Βίκτωρα από την Ακουϊτανία

Ένα αξιοσημείωτο τέχνασμα (μέθοδος) πολλαπλασιασμού των Ρωμαίων.

Οι Ρωμαίοι είχαν επινοήσει ένα αξιοσημείωτο τέχνασμα για τον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών από 6 έως 10. Με το τέχνασμα αυτό οι πολλαπλασιασμοί των αριθμών από 6 έως 10 ανάγονται σε πολλαπλασιασμούς αριθμών από 1 έως 5.

Το τέχνασμα αυτό στηρίζεται στην ταυτότητα

α.β=(10-α).(10-β)+10.(α+β-10), όπου α, β φυσικοί αριθμοί από 6 έως 10.

Το τέχνασμα αυτό, όπως θα δούμε, είναι μια μαθηματική έκφραση της μεθόδου των δακτύλων, την οποία ήδη έχουμε περιγράψει. Γι? αυτό δεν μπορώ να δεχτώ χωρίς επιφυλάξεις πως η μέθοδος αυτή ήταν καθαρά δημιούργημα των Ρωμαίων. Η ύπαρξη του 10 στον παραπάνω τύπο (ταυτότητα) με οδηγεί στη σκέψη πως μπορεί κάποιος φωτισμένος Ρωμαίος να μελέτησε την μέθοδο των δακτύλων και να διατύπωσε την παραπάνω μαθηματική έκφραση. Όπως και να έχουν τα πράγματα, η διατύπωση αυτής της μαθηματικής έκφρασης έχει ιδιαίτερη αξία γιατί μας μεταφέρει από το πρακτικό επίπεδο ενεργειών σε θεωρητικό επίπεδο σκέψης.

Ας δούμε τώρα πώς σχετίζεται ο παραπάνω τύπος με τη μέθοδο των δακτύλων.

Ας υποθέσουμε πως οι αριθμοί α και β είναι οι αριθμοί που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένα δάκτυλα (από 6 έως 10). Ο αριθμός α που αντιστοιχεί σε ένα δάκτυλο είναι ίσος με τον αριθμό α1 των δακτύλων που είναι κάτω από αυτόν μαζί με αυτόν αυξημένος κατά 5, δηλαδή:

α = α1+5 και β=β1+5, τότε

α.β = (10-α).(10-β) + 10.(α+β-10)=

=(5-α1).(5-β1) +10.1+5+β1+5-10)=

=α2.β2 +10.11),όπου α2 = 5-α1, β2=5-β1 είναι ο αριθμός των δακτύλων που είναι πάνω από τα ενωμένα δάκτυλα.

clip_image131

Σχ. 41

Γ. Μέτρα και σταθμά των Ρωμαίων.

Οι Ρωμαίοι υιοθέτησαν τις μονάδες μέτρησης των αρχαίων Ελλήνων αλλάζοντας μόνο την ονομασία σε ορισμένες από αυτές.

Μονάδες μήκους.

Για το μήκος βασική μονάδα ήταν ο πόδας ίσος με 0,273 του σημερινού μέτρου με υποδιαιρέσεις τον δάκτυλο και τον παλαιστή.

Από τον πόδα παράγονταν: ο πήχης (cubitus ή ulna)ίσος με 1,6 πόδες,

το απλό βήμα 2 ½ πόδες,

το διπλό βήμα (gradus) 5 πόδες,

ο κάλαμος (decampeda ή pretica)19 πόδες,

το μέτρο αγρού ίσο με 120 πόδες,

το στάδιο (stadium)625 πόδες και

το μίλι (mille passus) 2500 πόδες.

Μονάδες επιφάνειας.

Οι κυριότερες μονάδες επιφάνειας των Ρωμαίων ήταν:

Ο τετραγωνικός πόδας,

ο τετραγωνικός κάλαμος ή ρωμαϊκό πλέθρο.

Πολλαπλάσια του τετραγωνικού πόδα ήταν:

το scripileeum 100 τετραγωνικοί πόδες

και ο sabtus 23.040.000 τετραγωνικοί πόδες.

Μονάδες όγκου.

Για τα υγρά:

Ο κυβικός πόδας.

Για τα στερεά:

Ο μόδιος ίσος με το 1/3 του κυβικού πόδα.

Μονάδες βάρους.

Η κυριότερη μονάδα βάρους των Ρωμαίων ήταν η λίμπρα.

Η λέξη λίμπρα είναι λατινική και σημαίνει ζυγαριά. Στους Ρωμαίους όμως η λίμπρα ήταν, όπως είπαμε, ζυγιστική μονάδα. Αυτή η ονομασία μεταφέρθηκε στους Βυζαντινούς και έγινε λίτρα (litra) και στους Ιταλούς και έγινε λίρα (lira). Αργότερα μεταφέρθηκε και σε άλλες χώρες ως λίρα και ως λίβρα. Σήμερα διατηρείται σε ισχύ η λίρα ως νομισματική μονάδα και η λίβρα ως μονάδα βάρους.

Στον κύριο Αιμίλιο Ψαθά Φιλόλογο τ. σχολικό σύμβουλο εκφράζω θερμές ευχαριστίες για την πολύτιμη βοήθειά του σε γλωσσικά κυρίως θέματα.

Επίλογος.

Στην εργασία αυτή προσπάθησα να παρουσιάσω ορισμένα δείγματα από τα πρώτα πνευματικά δημιουργήματα του ανθρώπου που απετέλεσαν τα θεμέλια για να αποκτήσουν νόημα και ουσία αυτά που σήμερα λέμε απαρίθμηση και μέτρηση και να εξελιχθούν με την πάροδο του χρόνου στο τελειότερο πνευματικό δημιούργημα του ανθρώπου, τα Μαθηματικά. Πρόκειται για τα πρώτα αριθμητικά συστήματα, που η δημιουργία τους άρχισε πριν από 5000 χρόνια, ίσως και παλιότερα, συγχρόνως με τη συγκρότηση των κοινωνιών και την έναρξη της δημιουργίας πολιτισμών. Περιορίστηκα στις κοινωνίες και τους πολιτισμούς που αναπτύχθηκαν γύρω από τη Μεσόγειο και δεν ασχολήθηκα καθόλου με τους αρχαίους πολιτισμούς των Κινέζων, των Ινδών και των Μάγια, που ίσως να είναι παλαιότεροι, γιατί οι πολιτισμοί γύρω από τη Μεσόγειο, με τις αλληλοεπιδράσεις που άσκησαν, βοήθησαν περισσότερο στη δημιουργία του σύγχρονου πολιτισμού. Όσο κι αν φανεί παράξενο, στις πρώτες προσπάθειες του ανθρώπου για τη δημιουργία αριθμητικών συστημάτων, που ξεκίνησαν, όπως είπαμε, πριν από 5000 χρόνια, σημαντικό ρόλο έπαιξαν τα δάκτυλα των χεριών του. Από κείμενα των πυραμίδων, που βρέθηκαν σε ανασκαφές τάφων στην Αίγυπτο, μαθαίνομε πως στις πρώτες προσπάθειες των Αιγυπτίων για τη δημιουργία αριθμών η μέτρηση των δακτύλων θεωρούνταν δύσκολη υπόθεση με μαγική σημασία. Όμως αυτό το ξεκίνημα οδήγησε στις υπολογιστικές μηχανές και τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές εργαλεία με τα οποία γίνονται σήμερα οι υπολογισμοί με ασφάλεια και σχεδόν σε μηδενικό χρόνο.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.

1. G. Loria: Ιστορία των μαθηματικών.

2. Ο. Νeugebauer: Οι θετικές επιστήμες στην αρχαιότητα.

3. Δ. Θ. Δημαρά: Στοιχεία Φιλοσοφίας από την Μαθηματικήν.

4. Θ. Αραμπατζής, Κ. Γαβρόγλου κ.ά.: Ιστορία των Επιστημών και της Τεχνολογίας.

5. R. W. Hutchinson: Prehistoric Crete.

6. Ι. Α. Σακελλαράκης: Μουσείο Ηρακλείου.

7. Α. Βασιλάκης: Κνωσός.

8. Μ. Χατζηζαχαράκης: Φαιστός.

9. John Chadwick: The Decipherment of Linean B΄.

10. Εκδοτική Αθηνών: Ιστορία του Ελληνικού Έθνους

11. Εγκυκλοπαίδεια Δομή.

12. Εγκυκλοπαίδεια Ελευθερουδάκη.

13. Γ. Χρηστάκη ? Γ. Πατεράκη: Η Κρήτη και η ιστορία της.

14. Άννα Κωφού : Κρήτη.

15. Edward Lucie ? Smith: Παγκόσμια ιστορία τέχνης και πολιτισμού.

16. Pierre Montet : Η καθημερινή ζωή στην Αρχαία Αίγυπτο.

17. Robert Fraceli?re: Ο δημόσιος και ιδιωτικός βίος των Αρχαίων Ελλήνων.

18. Paul Faure: Η καθημερινή ζωή στην Κρήτη τη Μινωική Εποχή.

19. Περί Αλφαβήτου, Γ. Σταυριανουδάκης εφημερίδα «Χανιώτικα Νέα», 11/11/2003.

20. Ν. Κούτρας, Ξεχασμένες γραφές, εφημερίδα «Το Βήμα», 15 /8/2004.

.

Συστήματα γραφής των αριθμών αρχαίων πολιτισμών.

Βαβυλωνιακό clip_image132

clip_image133 = 43

Αιγυπτιακό

clip_image134

clip_image135 = 232.468

Ελληνικό ? Ηρωδιανό

clip_image136

clip_image137 = 53.627

Μινωικό Γραμμικής Β.

clip_image139

clip_image141 = clip_image143

clip_image110[1]

Χωριό του KA-U-DE-ΤΑ.

Κρασί που παραδόθηκε RE-ZA: 5 μέτρα ½.

TE-TU: 56. TE-KI: 28 ½..

KU-DO-NI : 16 ½.

DA-NE(;)-TA( ;) : 19NO -SO-

YO-NE : 5 μέτρα.

Σύνολο: 130 μέτρα ½.

 

clip_image145

Πηγή: http://rodamos.gr/?p=1244

Σύνδεση Διαχειριστή